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% Title Page
\titre{Loi normale}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\TSTMG}
\date{janvier 2015}

\begin{document}
\maketitle

\section{La gaussienne}

\begin{Ex}
    Illustration avec les poids, les tailles et l'IMC
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.4]{./fig/Taille_poids_normale}
    \end{center}
\end{Ex}

\begin{Def}
    Cette courbe en "cloche" est appelée \textbf{gaussienne} c'est la courbe de densité de probabilité de la variable aléatoire \textbf{la loi normale}
\end{Def}

\begin{Prop}
    Une gaussienne a pour axe de symétrie $x = \mu$
\end{Prop}

\begin{Ex}
    Une PME fabrique des boules de billard. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque boule prise au hasard, associe son diamètre. Une étude d'experts à montré que $X$ suit une loi normle d'espérence 61,25mm et d'écart-type 0,2.
\end{Ex}

\section{Probabilité}

\begin{Prop}
    Soit $X$ une variable aléatoire suivant un loi normale de l'esperance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

    \begin{itemize}
        \item La probabilité $P(a \leq X \leq b)$ est la proabilité pour que $X$ soit plus grand que $a$ et plus petit que $b$. Cette valeur se calcule en mesurant l'aire de la courbe entre $a$ et $b$.

            \textit{On fait un exemple avec l'exemple d'au dessus}

        \item Même chose avec $P(X \leq a)$ et $P(X \geq a)$
    \end{itemize}
\end{Prop}

\begin{Prop}
    Calcul de la probabilité $P(a<X<b)$ pour $X$ suivant une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ avec la calculatrice
    \begin{center}
        \texttt{normalFRep(a,b,$\mu$, $\sigma$)}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item Pour calculer $P(a<X)$, on remplace $b$ par $10^{99}$
        \item Pour calculer $P(X<b)$, on remplace $a$ par $-10^{99}$
    \end{itemize}
\end{Prop}

\begin{Prop}
            \textit{Toutes les props sont accompagnés d'un dessin}
    \begin{itemize}
        \item L'aire totale sous la courbe est égale à 1 
        \item $P(X > \mu) = P(X<\mu) = 0,5$
        \item $P(X > a) = 1 - P(X < a)$
        \item $P(a<X<b) = P(X<b) - P(x<a)$
    \end{itemize}
\end{Prop}

\begin{Prop}
    Avec le tableur 

    \texttt{Loi.normale(k;$\mu$; $\sigma$; 1} pour calculer $P(X < k)$
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.5]{./fig/calc_loi_normale}
    \end{center}
\end{Prop}

\section{Intervalle de fluctuation $2\sigma$}

\begin{Prop}
    Environ 95\% des valeurs prises par $X$, une variable aléatoire qui suit une loi normale d'éspérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, sont dans l'intervalle $\intFF{\mu - 2\sigma}{\mu+2\sigma}$.
\end{Prop}

\begin{Ex}
    \begin{itemize}
        \item Avec l'exemple précédent, $\mu = 61,25$ et $\sigma = 0,2$, $95\%$ des diamètres seront compris dans l'intervalle $\intFF{61,25-2\times0,2}{61,25+2\times0,2}$
    \end{itemize}
\end{Ex}





\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "master"
%%% End: