\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/Archive/2014-2015/2014_2015} % Title Page \titre{Dérivation et fonction} % \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG \classe{\TSTMG} \date{avril 2015} %\duree{1 heure} %\sujet{%{{infos.subj%}}} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DM} \begin{document} \maketitle \begin{questions} \question % Annale Bac STMG Antilles 2014 exo 3 On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130000 habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par \begin{align*} f(x) &= -30t^2 + 1260t + 4000 \end{align*} modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de $t$ jours de suivi de la propagation. \begin{parts} \part \textit{ Répondre aux questions ci-dessous par lecture graphique. Les résultats seronts justifés en commentant le travail réalisé sur le graphique et en y laissant les traits de construction.} \begin{subparts} % 1 \subpart Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de 15 jours de suivi de la propagation. % 1 \subpart Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 12\% de la population est touchée par la maladie. Justifier qu'à partir de 15600 personnes contaminée, le conseil municipal ferme les crèches. % 1 \subpart Pendant combien de jours les crèches ont-elles été fermée? % 1 \subpart Combien de personnes, au maximum, on été touchée par la maladie? \end{subparts} \part \begin{subparts} % 1 \subpart Déterminer,pour tout réel $t$ de l'intervalle $\intFF{0}{40}$, l'expression de $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. % 2 \subpart Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ variant dans l'intervalle $\intFF{0}{40}$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. % 1 \subpart Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal?\\ Combien y a-t-il alors de personnes touchées? \end{subparts} \end{parts} \vfill \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1.2] \tkzInit[xmin=0,xmax=40, ymin=0,ymax=17500, xstep=5,ystep=2500] \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=] \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=] \tkzDrawX[label={\textit{Nombre de jours}},below= -12pt] \tkzDrawY[label={\textit{Nombre de personnes touchées}}, below=-10pt] \tkzGrid \tkzFct[domain=0:40,color=blue, very thick]{-30*\x*\x + 1260*\x+4000} \end{tikzpicture} \end{center} \vfill \pagebreak \question % Metropole juin 2014 exo 1 Un parc d'attractions est ouvert au public de 9~h à 21~h. La courbe $C$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \tkzInit[xmin=8,xmax=22, ymin=0,ymax=500, xstep=1,ystep=50] \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=] \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=] \tkzDrawX[label={\textit{Heure de la journée}},below= -12pt] \tkzDrawY[label={\textit{Nombre de visiteur}}, below=-10pt] \tkzGrid \tkzFct[domain=9:21,color=blue, very thick]{-8*\x*\x+232*\x -1282} \end{tikzpicture} \begin{parts} \part \begin{subparts} \subpart Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci-dessus. \begin{center} \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Heure de la journée&11 h&12 h\\ \hline Nombre de visiteurs attendus&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \subpart Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à 0,1\,\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures ? \end{subparts} \part Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à 300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc. \begin{EnvUplevel} Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical. Quels horaires peut-on conseiller à ce touriste pour se rendre au parc d'attractions ? \part La courbe $C$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par \end{EnvUplevel} \begin{align*} f(x) = - 8x^2 + 232x - 1282 \end{align*} \begin{subparts} \subpart Déterminer les nombres de visiteurs attendus à 11~h et à 12~h. Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. a. ? \subpart Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \subpart En déduire, par le calcul, l'heure à laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce maximum. \end{subparts} \end{parts} \pagebreak \question % Antilles 2013 juin Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6000 et 32000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre $6$ et $32$, est noté $C(x)$ où $C$ est la fonction définie sur l'intervalle [6~;~32] par \[C(x) = 2x^3 - 108x^2 + 5060 x - 4640.\] La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée en annexe. Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5~\euro{} l'unité. Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32], on note $R(x)$ le montant de la vente en euros de $x$ milliers de pièces. Le bénéfice $B(x)$, en euros, pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces est $B(x) = R(x) - C(x)$. \bigskip \begin{parts} \part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : $R(x) = 3500x$. \part Représenter la fonction $R$ sur l'annexe, à remettre avec la copie. \part Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques. \begin{subparts} \subpart Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30000~\euro{} ? \subpart Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d'avoir un bénéfice positif ou nul ? \end{subparts} \part Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [6~;~32] : \[B(x)= - 2x^3 + 108x^2 - 1560x + 4640.\] \part On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. \begin{subparts} \subpart Calculer $B'(x)$. \subpart Vérifier que $B'(x) = (- 6x + 60)(x - 26)$. \end{subparts} \part \begin{subparts} \subpart Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [6~;~32]. \subpart En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [6~;~32]. \end{subparts} \part Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum. \end{parts} %\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm} %\begin{pspicture}(-2,-5000)(33,115000) %\multido{\n=0+2}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,115000)} %\multido{\n=0+5000}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(32,\n)} %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(-1.5,-5000)(33,115000) %\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6}{32}{x 3 exp 2 mul x dup mul 108 mul sub 5040 x mul add 4640 sub} %\rput(30,95000){$y = C(x)$}\uput[dl](0,0){O} %\end{pspicture} \begin{tikzpicture}[scale=0.7] \tkzInit[xmin=0,xmax=32, ymin=0,ymax=115000, xstep=2,ystep=10000] \tkzAxeX[thick, poslabel=right,label=] \tkzAxeY[thick, poslabel=above,label=] \tkzGrid \tkzText[color=blue](30,95000){$y = C(x)$} \tkzFct[domain=6:32,color=blue, very thick]{2*\x*\x*\x - 108*\x*\x + 5060*\x - 4640} \end{tikzpicture} \end{questions} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: