2014-2015/1er_STMG/DM/DM_0109/12_DM_0109.tex

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% Title Page
\titre{DM2}
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
\classe{\PSTMG}
\date{09 janvier 2015}
%\duree{1 heure}
%\sujet{%{{infos.subj%}}}
\sujet{12}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
\typedoc{DM}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. \textbf{Vous rendrez le sujet avc votre copie.}



\begin{questions}
    \question[10]
    \begin{parts}
        \part Tracer le tableau de signe des trois fonctions suivantes
        \begin{subparts}
            
            \subpart $f(x) = -3x^2 + 8x + 1$

            
            \subpart $g(x) = -7x^2 + 6x + 1$

            
            \subpart $h(x) = -10x^2 + 9x + 2$
            
        \end{subparts}

        \part 
        \begin{subparts}
           \subpart En déduire les solutions de $f(x) = 0$. 
           \subpart En déduire les solutions de $g(x) > 0$. 
           \subpart En déduire les solutions de $h(x) \leq 0$. 
        \end{subparts}
    \end{parts}


    \question[10]
    L'entreprise BriBri est spécialisée dans la fabrication visseuses. Elle peut en fabriquer au maximum 30 par mois. Comme l'entreprise travail sur commande, toutes les viseuses fabriqués sont vendus. Tous les montants sont donnés en d'euros

    \hspace{-2cm}
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.9]{./fig/graph_b_r}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Pour un nombre de visseuse $x$, fabriqués et vendus, le coût de production est donné par la fonction suivante
        \begin{eqnarray*}
            C(x) & = & 0,73x^2 + 7,3x = 98
        \end{eqnarray*}
        \begin{itemize}
            \item Si l'entreprise vend une visseuse 30\euro, ses recettes sont données par la fonction suivante
                \begin{eqnarray*}
                    R(x) & = & 30x
                \end{eqnarray*}
            \item Si l'entreprise vend une viseuse 10\euro, ses recettes sont données par la fonction suivante
                \begin{eqnarray*}
                    g(x) & = & 10x
                \end{eqnarray*}
        \end{itemize}
        Ces trois fonctions sont représentées dans le graphique ci-contre:
            
        \begin{itemize}
            \item $\mathcal{C}_C$ est la courbe qui représente la fonction $C$.
            \item $\mathcal{C}_g$ est la courbe qui représente la fonction $g$.
            \item $\mathcal{C}_R$ est la courbe qui représente la fonction $R$.
        \end{itemize}
    \end{minipage}

    \begin{parts}
        \part À l'aide du graphique (et en laissant les traits de construction), expliquer pourquoi choisir de vendre les visseuses 10\euro est un mauvais choix pour l'entreprise.
        \begin{solution}
            On remarque que la courbe rouge(qui représente les recettes) est toujours en dessous de la courbe bleu (qui représente les coûts) donc vendre les visseuses à 30 coûte plus que cela ne rapporte. L'entreprise ne fait donc pas de bénéfices, c'est donc un mauvais choix.
        \end{solution}
        \part Dans la suite de l'exercice, on estimera que l'entreprise vend ses visseuses 30\euro.
        \begin{subparts}
            \subpart Déterminer graphiquement (en laissant les traits de construction) le coût pour produire 20 visseuses.
            \begin{solution}
                On trouve 200 centaines d'euros soit 20 000\euro.
            \end{solution}
            \subpart Déterminer graphiquement (en laissant les traits de construction) le nombre de visseuses qu'il faut produire pour que les recettes atteignent 600\euro.
            \begin{solution}
                On trouve 10 visseuses.
            \end{solution}
        \end{subparts}

        \part 
        \begin{subparts}
            \subpart Calculer le coût puis les recettes si l'entreprise produit 19 visseuses.
            \begin{solution}
                Calcul des coûts:
                \begin{eqnarray*}
                    C(23) & = & 0,3\times 23^2 + 48 = 206,7
                \end{eqnarray*}
                Calcul des recettes
                \begin{eqnarray*}
                    R(23) & = & 10 \times 23 = 230
                \end{eqnarray*}
            \end{solution}
            \subpart Si elle produit et vend 19 visseuses , calculer les bénéfices?
            \begin{solution}
                On en déduit les bénéfices:
                \begin{eqnarray*}
                    B(23) & = & R(23) - C(23) = 230 - 206,7 = 23,3
                \end{eqnarray*}
                En vendant 23 visseuses , l'entreprise fait 233\euro de bénéfices.
            \end{solution}
        \end{subparts}

        \label{ques:benef}
        \part Dans les questions suivantes, on s'intéresse aux bénéfices. 
            \begin{subparts}
                \subpart Démontrer que les bénéfices de l'entreprise quand elle vend $x$ visseuses est donnés par
                    \begin{eqnarray*}
                        B(x) & = & -0,73x^2 + 22,7x - 98
                    \end{eqnarray*}
                \subpart Faire le tableau de signe de $B(x)$ (on arrondira $x_1$ et $x_2$ à l'unité par excès)
                \begin{solution}
                    Tableau de signe de $B(x)$:

                    On reconnait que $B$ est un polynôme du second degré avec $a = -0,3$, $b = 10$ et $c = -48$. Pour étudier le signe, on commence par calculer le discriminant
                    \begin{eqnarray*}
                        \Delta & = & b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \times (-0,3) \times (-48)\\
                        \Delta &=& 42,4
                    \end{eqnarray*}
                    $\Delta$ est positif donc il y a $B$ a deux racines:
                    \begin{eqnarray*}
                        x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{42}}{2\times(-0,3)} = 27,5 \\
                        x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{42}}{2\times(-0,3)} = 5,8
                    \end{eqnarray*}
                    Ici $a = -0,3$ négatif. On en déduit le tableau de signe suivant

                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[]{$x$/1,$B(x)$/1}{0, {5,8}, {27,5}, 30}
                        \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
                    \end{tikzpicture}
                    
                    
                \end{solution}
                \subpart Combien de visseuses l'entreprise doit-elle produire au minimum pour faire des bénéfices? Et au maximum? Justifier.
                \begin{solution}
                    D'après le tableau de la question précédentes, on regarde là où $B$ est positive. L'entreprise doit donc produire au minimum 6 visseuses et au maximum 27.
                \end{solution}
            \end{subparts}
    \end{parts}
    
\end{questions}
\end{document}

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