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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/tools/style/classCours}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014-2015/Archive/2014-2015/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{Généralités sur les suites}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{Mai 2015}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Généralité sur les suites}
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\begin{Def}
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Une suite numérique est un liste infinie de nombres réels, numérotés généralement avec des entiers naturelles (0, 1, 2, 3 ...) consécutifs.
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\end{Def}
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\begin{Ex}
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\begin{itemize}
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\item On note $u_n$ la taille d'une personne à son n-ième anniversaire.
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\begin{align*}
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u_0 = 50cm &\mbox{ taille à la naissance}\\
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u_1 = 85cm &\mbox{ taille pour son premier anniversaire} \\
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u_{17} = 180cm &\mbox{ taille pour son 17-ième anniversaire}
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\end{align*}
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\item On connait les suites arithmétiques: pour passer d'une terme au suivant, on ajoute toujours la même quantité.
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\item On connait les suites géométrique : pour passer d'une terme au suivant, on multiplie toujours par la même quantité.
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\end{itemize}
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\end{Ex}
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\paragraph{Deux façons de générer "classique" une suite}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Explicitement}: quand pour calculer la valeur de $u_n$ on n'a besoin que de la valeur de $n$
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\begin{Ex}
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Soit $u_n = -n^2 + 3^n - 5$ pour calculer les termes $u_1$ et $u_{10}$ il suffit de remplacer $n$ par sa valeur.
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\begin{align*}
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u_1 &= -1^2 + 3^1 - 5 = -3 \\
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u_{10} &= -10^2 + 3^{10} - 5 = 58944
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\end{align*}
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\end{Ex}
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\item \textbf{Par récurence}: pour calculer un terme, il faut connaître les termes précédents.
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\begin{Ex}
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\begin{itemize}
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\item Soit $u_{n+1} = 2^{u_{n}}$ avec $u_0 = 1$ on calcule les premiers termes de la suite
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\begin{align*}
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u_1 &= 2^{u_0} = 2^1 = 2 \\
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u_2 &= 2^{u_1} = 2^2 = 4 \\
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u_3 &= 2^{u_2} = 2^4 = 16
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\end{align*}
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\item Soit $u_{n+1} = u_n + n^2$ avec $u_0 = 2$ on calcule les premiers termes de la suite
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\begin{align*}
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u_1 &= u_0 + 0^2 = 2 \\
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u_1 &= u_1 + 1^2 = 2 + 1^2 = 3 \\
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u_2 &= u_2 + 2^2 = 3 + 4 = 7
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\end{align*}
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\item (Suite de Fibonacci) Soit $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$ on calcule les premiers termes de la suite
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\begin{align*}
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u_2 &= u_1 + u_0 = 1 + 1 = 2 \\
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u_3 &= u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3 \\
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u_4 &= u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{Ex}
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\end{itemize}
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\paragraph{Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique}
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\begin{itemize}
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\item Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule l'écart entre deux termes consécutifs: $u_{n+1} - u_n$. Si cet écart ne dépend pas de $n$ alors la suite est arithmétique.
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\item Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on calcule quotient de deux termes consécutifs: $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si ce quotient ne dépend pas de $n$ alors la suite est géométrique.
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\end{itemize}
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\section{Variation d'une suite}
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\begin{Def}
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Soit $(u_n)$ une suite numérique.
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\begin{itemize}
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\item $(u_n)$ est \textbf{croissante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} \geq u_n$
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\item $(u_n)$ est \textbf{décroissante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} \leq u_n$
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\item $(u_n)$ est \textbf{constante} ssi pour tout $n\in \N \qquad u_{n+1} = u_n$
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\end{itemize}
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\end{Def}
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\paragraph{Méthodes}
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\begin{itemize}
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\item Si la suite est définie explicitement c'est à dire $u_n = f(n)$ alors $(u_n)$ a les mêmes variations que $f(x)$ pour $x\in\R^+$
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\begin{Ex}
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Soit $u_n = n^2 + 1$. Cette suite est de la forme $u_n = f(n)$ avec $f(x) = x^2 + 1$. On va donc étudier les variations de $f$
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\begin{align*}
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f'(x) = 2x \hspace{2cm} f'(x) > 0 \equiv 2x > 0 \equiv x > 0
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\end{align*}
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Donc $f'(x)$ est positif quand $x$ est positif. On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur $\R^+$ et donc que la suite $(u_n)$ est croissante.
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\end{Ex}
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\item Si l'expression de $u_n$ contient essentiellement des additions ou des soustractions. Alors on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
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\begin{Ex}
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Soit $u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 10$.
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\begin{align*}
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&u_{n+1} - u_n = u_n^2 + u_n + 10 - u_n = u_n^2 + 10 > 0 \\
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\mbox{Donc } & u_{n+1} - u_n > 0 \equiv u_{n+1} > u_n
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\end{align*}
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La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
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\end{Ex}
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\item Si l'expression de $u_n$ contient essentiellement des multiplication ou des divisions et que $u_n$ n'est \textbf{jamais nulle}. Alors on compare $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1.
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\begin{Ex}
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Soit $u_n = 5^n \times n$, donc $u_{n+1} = 5^{n+1} \times (n+1)$
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\begin{align*}
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\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5^{n+1} \times (n+1)}{5^n \times n} = 5 \times \frac{n+1}{n} > 5 > 1
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\end{align*}
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Donc $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ donc $u_{n+1} > u_n$ donc la suite est croissante.
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\end{Ex}
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\end{itemize}
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\end{document}
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