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\documentclass[a5paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2015_2016}
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%\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
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% Title Page
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\titre{1}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{Troisième}
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\date{Vendredi 5 février 2016}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{4}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, bottom= 10mm, top=10mm}
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%\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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\vspace{-1cm}
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\ifprintanswers
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\begin{center}
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\Large Solution
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\end{center}
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\normalsize
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\else
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\textbf{Vous devez rendre le sujet avec la copie.}
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\fi
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\begin{questions}
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\question
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Développer et simplifier les expressions suivantes.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{parts}
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\part $A = -8 ( -10 x + 5 )$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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A & = & -8 ( -10 x + 5 ) \\
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A & = & -8 \times ( -10 ) x - 8 \times 5 \\
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A & = & 80 x - 40
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $B = 3 x ( 3 x - 9 )$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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B & = & 3 x ( 3 x - 9 ) \\
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B & = & 3 \times 3 x^{ 2 } + 3 \times ( -9 ) x \\
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B & = & 9 x^{ 2 } - 27 x
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $C = ( 6 x + 6 ) ( 7 x + 3 )$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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C & = & ( 6 x + 6 ) ( 7 x + 3 ) \\
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C & = & 6 \times 7 x^{ 2 } + ( 6 \times 7 + 6 \times 3 ) x + 6 \times 3 \\
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C & = & 42 x^{ 2 } + ( 42 + 18 ) x + 18 \\
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C & = & 42 x^{ 2 } + 60 x + 18
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $D = ( 10 x + 6 )^{ 2 }$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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D & = & ( 10 x + 6 )^{ 2 } \\
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D & = & ( 10 x + 6 ) ( 10 x + 6 ) \\
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D & = & 10 \times 10 x^{ 2 } + ( 6 \times 10 + 10 \times 6 ) x + 6 \times 6 \\
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D & = & 100 x^{ 2 } + ( 60 + 60 ) x + 36 \\
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D & = & 100 x^{ 2 } + 120 x + 36
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\end{multicols}
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\vfill
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\question
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Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
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\begin{parts}
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\begin{multicols}{4}
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\part $A = \frac{ 11 }{ 6 } + \frac{ 7 }{ 11 }$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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A & = & \frac{ 11 }{ 6 } + \frac{ 7 }{ 11 } \\
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A & = & \frac{ 11 \times 11 }{ 6 \times 11 } + \frac{ 7 \times 6 }{ 11 \times 6 } \\
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A & = & \frac{ 121 }{ 66 } + \frac{ 42 }{ 66 } \\
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A & = & \frac{ 121 + 42 }{ 66 } \\
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A & = & \frac{ 163 }{ 66 }
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $B = \frac{ 6 }{ 2 } + \frac{ 10 }{ 2 }$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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B & = & \frac{ 6 }{ 2 } + \frac{ 10 }{ 2 } \\
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B & = & \frac{ 6 + 10 }{ 2 } \\
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B & = & 8
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $C = \frac{ 1 }{ 5 } \times \frac{ 9 }{ 4 }$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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C & = & \frac{ 1 }{ 5 } \times \frac{ 9 }{ 4 } \\
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C & = & \frac{ 9 }{ 4 } \times \frac{ 1 }{ 5 } \\
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C & = & \frac{ 9 \times 1 }{ 4 \times 5 } \\
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C & = & \frac{ 9 }{ 20 }
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\part $D = \frac{ 5 }{ 6 } \times 7$
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\begin{solution}
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\begin{eqnarray*}
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D & = & \frac{ 5 }{ 6 } \times 7 \\
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D & = & \frac{ 5 \times 7 }{ 6 } \\
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D & = & \frac{ 35 }{ 6 }
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{multicols}
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\end{parts}
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\vfill
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\question
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\begin{parts}
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\part Développer et réduire $(5 n + 1)(5 n - 1)$ où $n$ est un nombre quelconque.
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\begin{solution}
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$( 5 n + 1 ) ( 5 n - 1 ) = 5 \times 5 n^{ 2 } + ( 5 + 5 \times ( -1 ) ) n - 1 = 25 n^{ 2 } + ( 5 - 5 ) n - 1 = 25 n^{ 2 } - 1$
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\end{solution}
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\part En utilisant la question 1, calculer $501 \times 499$.
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\begin{solution}
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Si on remplace $n$ par 100 on obtient par la question 1
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\begin{align*}
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501 \times 499 = (5 \times 100 + 1)\times(5 \times 100 - 1) = 25 \times 100^{ 2 } - 1 = 249999
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\end{align*}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\vfill
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\question
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% exo de geometrie comme au brevet blanc.
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Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipale, schématisés ci-dessous:
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\begin{itemize}
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\item Le parcours ACDA
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\item Le parcours AEFA
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\end{itemize}
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Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 114km.
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Peux-tu les aider à choisir le parcours? Justifie
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\textbf{Attention: La figure proposée au conseil municipale n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimension données sont correctes.}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\includegraphics[scale = 0.4]{./fig/parcours}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item $AC = 52km$
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\item $CD = 20km$
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\item $AE' = 11.4km$
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\item $AE = 34.1km$
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\item $AF = 0.2km$
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\item $E'F' = 26.5km$
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\item $(E'F') // (EF)$
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\item L'angle $\widehat{EAF}$ vaut $30^o$
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\begin{solution}
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\begin{itemize}
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\item Parcours ACDA:
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D'après la figure, on voit que le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
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\begin{align*}
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AD^2 &= AC^2 + DC^2 \\
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AD^2 &= 52^2 + 20^2 \\
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AD^2 &= 2704 + 400 \\
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AD^2 &= 3104 \\
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AD &= \sqrt{3104} = 48
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\end{align*}
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Donc le parcours ACDA mesure
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\begin{align*}
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AD + AC + CD = 48 + 52 + 20 = 120km
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\end{align*}
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\item Parcours AEFA:
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D'après les données, on sait que $(EF) // (E'F')$. On voit aussi que $A$, $E'$ et $E$ sont alignés. Il en est de même pour les points $A$, $F'$ et $F$. Donc d'après le théorème de Thalès
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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Triangle AEF & AE = 34.1 & AF = 0.2 & EF \\
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\hline
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Triangle AE'F' & AE' = 11.4 & AF' & E'F' = 26.5 \\
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\hline
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\end{tabular}
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est un tableau de proportionnalité. Donc on peut faire un produit en croix pour calcul $EF$.
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\begin{align*}
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EF = \frac{E'F' \times AE}{AE'} = \frac{26.5 \times 34.1}{11.4} = 79.5
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\end{align*}
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Donc le parcours AEFA mesure
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\begin{align*}
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AF + AE + EF = 0.2 + 34.1 + 79.5 = 113.8km
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\end{align*}
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\item Choix du parcours:
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Il faudra choisir le tour $AFEA$ car sa longueur est plus proche de 114.
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\end{itemize}
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\end{solution}
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|
\end{questions}
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\end{document}
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%%% End:
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