90 lines
3.9 KiB
TeX
90 lines
3.9 KiB
TeX
\Block{set GI = randint(5, 15)}
|
|
\Block{set HI = randint(1, GI-1)}
|
|
\Block{set EG = randint(1, GI-1)}
|
|
Sur la figure suivante, $GI = \Var{GI}cm$, $HI = \Var{HI}cm$ et $EG = \Var{EG}cm$.
|
|
|
|
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/fig_exo_geo}
|
|
|
|
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au centième.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Calculer la mesure de l'angle $\widehat{IGH}$.
|
|
\begin{solution}
|
|
On sait que le triangle $HIG$ est rectangle en $H$ donc
|
|
\Block{set IGH = round(asin(HI/GI), 2)}
|
|
\begin{align*}
|
|
\sin( \widehat{IGH} ) &= \frac{HI}{GI} = \frac{\Var{HI}}{\Var{GI}} \approx \Var{(HI/GI)|round(2)}\\
|
|
\widehat{IGH} &= \sin^{-1}(\Var{(HI/GI)|round(2)}) = \Var{IGH}
|
|
\end{align*}
|
|
Donc $\widehat{IGH} = \Var{IGH}$
|
|
\end{solution}
|
|
\part En déduire la mesure de l'angle $\widehat{EGF}$.
|
|
\begin{solution}
|
|
On remarque que les angles $\widehat{IGH}$ et $\widehat{EGF}$ sont alternes-internes. Ils ont donc la même mesure. Donc
|
|
\begin{align*}
|
|
\widehat{EGF} = \widehat{IGH} = \Var{IGH}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Calculer la longueur $FG$.
|
|
\begin{solution}
|
|
On sait que le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ donc
|
|
\Block{set FG = (EG / cos(IGH)) | round(2)}
|
|
\begin{align*}
|
|
\cos(\widehat{EGF}) &= \frac{EG}{FG} \\
|
|
\cos(\Var{IGH}) &= \frac{\Var{EG}}{FG} \\
|
|
\Var{(cos(IGH)) | round(2)} &= \frac{\Var{EG}}{FG} \\
|
|
FG &= \frac{\Var{EG}}{\Var{(cos(IGH))| round(2)}} = \Var{FG}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{solution}
|
|
\part Calculer de deux manières différentes la longueur $FE$.
|
|
\begin{solution}
|
|
Il existe en fait 3 méthodes pour calculer $GF$:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \underline{Avec les formules trigonométriques}
|
|
|
|
On sait que $EGF$ est un triangle rectangle en $E$ donc
|
|
\begin{align*}
|
|
\tan(\widehat{EGF}) &= \frac{EF}{EG} \\
|
|
\tan(\Var{IGH}) &= \frac{EF}{\Var{EG}} \\
|
|
\Var{tan(IGH)} &= \frac{EF}{\Var{EG}} \\
|
|
EF = \Var{tan(IGH)|round(2)} \times \Var{EG} = \Var{(tan(IGH)*EG) | round(2)}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item \underline{Avec le théorème de Pythagore}
|
|
|
|
On sait que $EGF$ est un triangle rectangle en $E$ donc d'après le théorème de Pythagore on a
|
|
\Block{set EF2 = FG**2 - EG**2}
|
|
\Block{set EF = sqrt(EF2) | round(2)}
|
|
\begin{align*}
|
|
FG^2 &= EG^2 + EF^2 \\
|
|
\Var{FG}^2 &= \Var{EG}^2 + EF^2 \\
|
|
\Var{FG**2} &= \Var{EG**2} + EF^2 \\
|
|
EF^2 &= \Var{FG**2} - \Var{EG**2} = \Var{EF2} \\
|
|
EF &= \sqrt{\Var{EF2}} = \Var{EF}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\item \underline{Avec le théorème de Thalès}
|
|
|
|
Comme $(EF)$ et $(HI)$ sont perpendiculaires à $(EH)$, $(EF)$ et $(HI)$ sont parallèles.
|
|
|
|
De plus on remarque que $E$, $G$ et $H$ sont alignés ainsi que $F$, $G$ et $I$.
|
|
|
|
Donc d'après le théorème de Thalès, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
|
|
\hline
|
|
Triangle $EFG$ & $EG = \Var{EG}$ & $EF$ & $FG = \Var{FG}$ \\
|
|
\hline
|
|
Triangle $GIH$ & $HG$ & $HI = \Var{HI}$ & $GI = \Var{GI}$\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
Donc avec un produit en croix, on obtient
|
|
\begin{align*}
|
|
EF = \frac{HI \times FG}{GI} = \frac{\Var{HI} \times \Var{FG}}{\Var{GI}} = \Var{(HI*FG/GI) | round(2)}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|