% exo de geometrie comme au brevet blanc.

%- set AC, AD, DC = random_pythagore()
%- set tourACDA = AC+AD+DC
%- set AE, AF = round(tourACDA/2*random(), 1), round(tourACDA/2*random(), 1)
%- set EF = round(tourACDA - AE - AF - randint(20,40)*0.2, 1)
%- set tourAEFA = round(AE+EF+AF, 1)
%- set rapport = randint(2,5)
%- set AE1, AF1, EF1 = round(AE/rapport,2) , round(AF/rapport,2), round(EF/rapport,2)
%- set objectif = randint(floor(tourAEFA), tourACDA)
%- if objectif > 100
    %- set unit = "m"
%- else
    %- set unit = "km"
%- endif


Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipale, schématisés ci-dessous:
\begin{itemize}
    \item Le parcours ACDA
    \item Le parcours AEFA
\end{itemize}
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de \Var{objectif}\Var{unit}.

Peux-tu les aider à choisir le parcours? Justifie

\textbf{Attention: La figure proposée au conseil municipale n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimension données sont correctes.}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
    \includegraphics[scale = 0.4]{./fig/parcours} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{itemize}
        \item $AC = \Var{AC}\Var{unit}$
        \item $CD = \Var{DC}\Var{unit}$
        \item $AE' = \Var{AE1}\Var{unit}$
        \item $AE = \Var{AE}\Var{unit}$
        \item $AF = \Var{AF}\Var{unit}$
        \item $E'F' = \Var{EF1}\Var{unit}$
        \item $(E'F') // (EF)$
        \item L'angle $\widehat{EAF}$ vaut $30^o$
    \end{itemize}
\end{minipage}
\begin{solution}
    \begin{itemize}
        \item Parcours ACDA:

            D'après la figure, on voit que le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ donc d'après le théorème de Pythagore, on a
            \begin{align*}
                AD^2 &= AC^2 + DC^2 \\
                AD^2 &= \Var{AC}^2 + \Var{DC}^2 \\
                AD^2 &= \Var{AC**2} + \Var{DC**2} \\
                AD^2 &= \Var{AC**2 + DC**2} \\
                AD &= \sqrt{\Var{AC**2 + DC**2}} = \Var{AD}\Var{unit}
            \end{align*}
            Donc le parcours ACDA mesure
            \begin{align*}
                AD + AC + CD = \Var{AD} + \Var{AC} + \Var{DC} = \Var{tourACDA}\Var{unit}
            \end{align*}

        \item Parcours AEFA:

            D'après les données, on sait que $(EF) // (E'F')$. On voit aussi que $A$, $E'$ et $E$ sont alignés. Il en est de même pour les points $A$, $F'$ et $F$. Donc d'après le théorème de Thalès

            \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
                \hline
                Triangle AEF & AE = \Var{AE} & AF = \Var{AF}  & EF \\
                \hline
                Triangle AE'F' & AE' = \Var{AE1} & AF' & E'F' = \Var{EF1} \\
                \hline
            \end{tabular}
            est un tableau de proportionnalité. Donc on peut faire un produit en croix pour calcul $EF$.
            \begin{align*}
                EF = \frac{E'F' \times AE}{AE'} = \frac{\Var{EF1} \times \Var{AE}}{\Var{AE1}} = \Var{EF}  \Var{unit}
            \end{align*}

            Donc le parcours AEFA mesure
            \begin{align*}
                AF + AE + EF = \Var{AF} + \Var{AE} + \Var{EF} = \Var{tourAEFA}\Var{unit}
            \end{align*}

        \item Choix du parcours:

        %- if abs(tourACDA - objectif) < abs(tourAEFA - objectif)
            Il faudra choisir le tour $ACDA$ car sa longueur est plus proche de \Var{objectif}\Var{unit}.
        %- else
            Il faudra choisir le tour $AFEA$ car sa longueur est plus proche de \Var{objectif}\Var{unit}.
        %- endif
    \end{itemize}
\end{solution}