% theme: Pythagore, Cosinus

%- set terrasse = randint(3,8)
%- set pente = round(terrasse + random()*2, 2)

Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure \Var{terrasse}~mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d'un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur \Var{pente}~m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP]. 

\includegraphics[scale=0.4]{./fig/terrasse}
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l'arrondi au cm près. 
    \begin{solution}
        La hauteur du mur correspond à la longueur $PN$. Calculons $PN$.

        Comme la terrasse est horizontale et le mur vertical, on peut dire que le triangle $DNP$ est rectangle en N. Donc d'après le théorème de Pythagore on a l'égalité suivant:

        %- set pente_2 = round(pente**2, 4)
        %- set PN_2 = round(pente**2 - terrasse**2, 4)
        %- set PN = sqrt(PN_2)
        \begin{eqnarray*}
           DP^2  & = & DN^2 + PN^2 \\
           \Var{pente}^2 & = & \Var{terrasse}^2 + PN^2 \\
           \Var{pente_2} & = & \Var{terrasse**2} + PN^2 \\
           PN^2 & = & \Var{pente_2} - \Var{terrasse**2} \\
           PN^2 & = & \Var{PN_2} \\
           PN & = & \sqrt{\Var{PN_2}} = \Var{PN}
        \end{eqnarray*}

        Le mur mesure donc $\Var{PN} \approx \Var{round(PN, 2)}$ m.
        
    \end{solution}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{NDP}}$ compris entre la terrasse et le terrain en pente. (Donner l'arrondi au degré près)
    \begin{solution}
        Comme le triangle $DNP$ est un triangle rectangle, on peut utiliser la formule du cosinus.

        %- set rapport =  round(terrasse / pente, 2)

        \begin{eqnarray*}
            \cos(\widehat{NDP}) & = & \frac{DN}{DP} = \frac{\Var{terrasse}}{\Var{pente}} \approx \Var{rapport} \\
            \widehat{NDP} & = & \arccos(\Var{rapport}) \approx \Var{round(acos(rapport)*180/pi,0)}
        \end{eqnarray*}
        
    \end{solution}
\end{enumerate}