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% theme: Pythagore, Cosinus
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%- set terrasse = randint(3,8)
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%- set pente = round(terrasse + random()*2, 2)
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Sur le schéma ci-dessous, la terrasse est représentée par le segment [DN] elle est horizontale et mesure \Var{terrasse}~mètres de longueur. Elle est construite au-dessus d'un terrain en pente qui est représenté par le segment [DP] de longueur \Var{pente}~m. Pour cela, il a fallu construire un mur vertical représenté par le segment [NP].
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/terrasse}
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la hauteur du mur ? Justifier. Donner l'arrondi au cm près.
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\begin{solution}
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La hauteur du mur correspond à la longueur $PN$. Calculons $PN$.
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Comme la terrasse est horizontale et le mur vertical, on peut dire que le triangle $DNP$ est rectangle en N. Donc d'après le théorème de Pythagore on a l'égalité suivant:
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%- set pente_2 = round(pente**2, 4)
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%- set PN_2 = round(pente**2 - terrasse**2, 4)
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%- set PN = sqrt(PN_2)
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\begin{eqnarray*}
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DP^2 & = & DN^2 + PN^2 \\
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\Var{pente}^2 & = & \Var{terrasse}^2 + PN^2 \\
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\Var{pente_2} & = & \Var{terrasse**2} + PN^2 \\
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PN^2 & = & \Var{pente_2} - \Var{terrasse**2} \\
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PN^2 & = & \Var{PN_2} \\
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PN & = & \sqrt{\Var{PN_2}} = \Var{PN}
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\end{eqnarray*}
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Le mur mesure donc $\Var{PN} \approx \Var{round(PN, 2)}$ m.
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\end{solution}
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\item Calculer l'angle $\widehat{\text{NDP}}$ compris entre la terrasse et le terrain en pente. (Donner l'arrondi au degré près)
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\begin{solution}
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Comme le triangle $DNP$ est un triangle rectangle, on peut utiliser la formule du cosinus.
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%- set rapport = round(terrasse / pente, 2)
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\begin{eqnarray*}
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\cos(\widehat{NDP}) & = & \frac{DN}{DP} = \frac{\Var{terrasse}}{\Var{pente}} \approx \Var{rapport} \\
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\widehat{NDP} & = & \arccos(\Var{rapport}) \approx \Var{round(acos(rapport)*180/pi,0)}
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\end{eqnarray*}
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\end{solution}
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\end{enumerate}
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