158 lines
6.6 KiB
TeX
158 lines
6.6 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{tasks}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{DM 1 -- LOULID Manar}
|
||
|
|
\tribe{Terminale ES-L}
|
||
|
|
\date{15 novembre 2019}
|
||
|
|
|
||
|
|
\xsimsetup{
|
||
|
|
solution/print = false
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
|
||
|
|
Une commune de \np{1600} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 7\,\% tous les ans.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\smallskip
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\smallskip
|
||
|
|
|
||
|
|
La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{12800}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 0.4900\,\% par an.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\setcounter{enumi}{1}
|
||
|
|
\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
||
|
|
\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
|
||
|
|
\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0.93^n$.
|
||
|
|
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
|
||
|
|
\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
|
||
|
|
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\setcounter{enumi}{6}
|
||
|
|
\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Augmenter de 7\% revient à multiplier pas 1.07. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.07 et de premier terme 1600. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
h_n = 1600\times 1.07^n
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Augmenter de 0.4900\% revient à multiplier pas 0.9951. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 0.9951 et de premier terme 12800. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
d_n = 12800\times 0.9951^n
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{12800}{1600} = 8
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{12737.2800}{1712} = 7.44
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Démonstration de la formule
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{12800\times0.9951^n}{1600\times1.07^n} \\
|
||
|
|
u_n &=& \frac{12800}{1600}\times\left(\frac{0.9951}{1.07}\right)^n \\
|
||
|
|
u_n &=& 8\times0.93^n
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.93 et de premier terme 8.
|
||
|
|
\item La raison, $q = 0.93$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 7$ avec $u_{7} = 4.81360696486056$
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||
|
|
\section*{Partie A}
|
||
|
|
Dans cette partie, on étudie la fonction
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(x) = - 7x^2 + 6x - 5
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer la dérivé de $f$.
|
||
|
|
\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\section*{Partie B}
|
||
|
|
Dans cette partie, on étudie la fonction
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
g(x) = 3x^3 - 9x^2 + 7x - 9
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
|
||
|
|
\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
|
||
|
|
\item Calculer la dérivé de $g$.
|
||
|
|
\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
|
||
|
|
\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
|
||
|
|
\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
|
||
|
|
\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\section*{Partie A}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $6 - 14x$
|
||
|
|
\item Correction non disponible
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Partie B}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Correction non disponible
|
||
|
|
\item Correction non disponible
|
||
|
|
\item $g'(x) = 7 - 18x + 9x^2$
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=7 - 18x + 9x^2$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & - 18^{2} - 4 \times 9 \times 7 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 324 - 36 \times 7 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 324 - 252 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 72
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
comme $\Delta = 72 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 18 - \sqrt{72}}{2 \times 9} = 0.5285954792089683 \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 18 + \sqrt{72}}{2 \times 9} = 1.4714045207910316
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
Ainsi, $g'$ est du signe de $a=9$ en dehors des racines.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Le tableau de variation non disponible en correction
|
||
|
|
\item Équation de la tangente: $y = 7x + - 9$
|
||
|
|
\item $g''(x) = 18x - 18$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|