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4.4 KiB
TeX
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%- set u0 = Integer.random(min_value=7, max_value=12)
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%- set uq = Decimal.random(min_value=0.9, max_value=1, digits=2)
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%- set h0 = Integer.random(min_value=15, max_value=25)*100
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%- set hp = Integer.random(min_value=5, max_value=9)
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%- set hq = 1 + hp*Decimal("0.01")
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%- set d0 = u0*h0
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%- set dq = uq*hq
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%- set dp = (1-dq)*100
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\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
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Une commune de \np{\Var{h0}} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de \Var{hp}\,\% tous les ans.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\smallskip
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La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{\Var{d0}}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de \Var{dp}\,\% par an.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
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Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
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\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = \Var{u0} \times \Var{uq}^n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
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\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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\end{enumerate}
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Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{6}
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\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Augmenter de \Var{hp}\% revient à multiplier pas \Var{hq}. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison \Var{hq} et de premier terme \Var{h0}. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
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\[
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h_n = \Var{h0}\times \Var{hq}^n
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\]
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\item Augmenter de \Var{dp}\% revient à multiplier pas \Var{dq}. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison \Var{dq} et de premier terme \Var{d0}. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
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\[
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d_n = \Var{d0}\times \Var{dq}^n
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\]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{\Var{d0}}{\Var{h0}} = \Var{u0}
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\]
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\[
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u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{\Var{d0*dq}}{\Var{h0*hq}} = \Var{u0*uq}
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\]
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\item Démonstration de la formule
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\begin{eqnarray*}
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u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{\Var{d0}\times\Var{dq}^n}{\Var{h0}\times\Var{hq}^n} \\
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u_n &=& \frac{\Var{d0}}{\Var{h0}}\times\left(\frac{\Var{dq}}{\Var{hq}}\right)^n \\
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u_n &=& \Var{u0}\times\Var{uq}^n
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\end{eqnarray*}
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\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison \Var{uq} et de premier terme \Var{u0}.
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\item La raison, $q = \Var{uq}$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
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\end{enumerate}
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%- set n = int(log(5/u0.raw)/log(uq.raw))
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%- set N = ceil(log(5/u0.raw)/log(uq.raw))
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\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = \Var{N}$ avec $u_{\Var{N}} = \Var{u0.raw*uq.raw**N}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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