2019-2020/TES/DM/DM_20_02/15_DM_20_02.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}

\title{DM 2 -- MENARD Cassandre}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{9 mars 2020}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
    On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~80]$ par:

    \[f(x) = \np{6000}(x + 20)\text{e}^{- 0.05x}.\]

    \textbf{Partie A - Étude graphique}

    On a représenté sur le graphique en annexe, la courbe représentative de la fonction $f$.

    \begin{enumerate}
        \item Avec un tableur tracer et imprimer la courbe représentative de $f$ sur $I$
    \end{enumerate}
    \emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{60000}$.
        \item Donner un encadrement de la quantité
            \[
                \int_{2}^{40} f(x) \; dx
            \]
            Vous expliquerez votre démarche en utilisant le graphique.
    \end{enumerate}

    \medskip

    \textbf{Partie B - Étude théorique}

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{4}
    \item Étude des variations.
        \begin{enumerate}
            \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\intFF{0}{80}$.

                Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f'(x) = - 300x\text{e}^{-0.05x}$.

            \item  En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle $\intFF{0}{80}$. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.

            \item  Démontrer que l'équation $f(x) = \np{60000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{0}{80}$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.
        \end{enumerate}

    \item Étude de la convexité
        \begin{enumerate}
            \item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $\intFF{0}{80}$.

                Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f''(x) = (15x-300)\text{e}^{-0.05x}$.

            \item Démontrer que $f$ admet un point d'inflexion dont on donnera son abscisse.
        \end{enumerate}

    \item Aire sous la courbe
        \begin{enumerate}
            \item On souhaite approximer la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ par la droite $D$ qui relie les points $(0;f(0))$ et $(80, f(80))$. Tracer cette droite sur le graphique.
            \item On note $g$ la fonction affine qui décrit cette droite $D$. Détermine l'expression de $g$
            \item Calculer $\displaystyle \int_0^{80} g(x)\; dx$
            \item Avec la calculatrice, calculer une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{80} f(x) \; dx$
            \item Comparer les valeurs trouvées aux deux questions précédentes. Comment s'explique l'écart entre ces deux valeurs?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

    \medskip

    \textbf{Partie C - Application économique}

    Une entreprise a pris la décision de fermer son usine de production de smartphones en 80 mois.

    La fonction capacité de production de cette usine est modélisée sur l'intervalle $\intFF{0}{80}$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

    Le nombre $x$ représente le temps en mois après la décision de la fermeture du site et le nombre $f(x)$ représente capacité production de smartphone au moment $x$.

    Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{7}
        \item Combien de smartphones pouvaient être produit à la fermeture de l'usine?
        \item Pendant combien de temps la capacité de production de l'usine a réussi à se maintenir au dessus de \np{60000}?
        \item Combien de smartphones ont pu être produit entre la prise de décision et la fermeture de l'usine?
    \end{enumerate}

\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=0.1875]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=81,xstep=1,
                ymin=0,ymax=126000,ystep=12000]
                \tkzGrid
                \tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=2400.0]
                \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
                \tkzFct[domain = 0:80, line width=1pt]{6000*(x+20)*exp(-0.05*x)}
                %M\tkzFct[domain = 0:80, line width=1pt, blue]{60000}
            \end{tikzpicture}
        \item Tracer la droite $y=60000$. C'est l'abscisse de l'intersection entre cette droite et la courbe
        \item 
        \item 

    \end{enumerate}

\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: