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TeX
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%- set a = Integer.random(min_value=1,max_value=10) * 1000
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%- set b = Integer.random(min_value=1, max_value=5, rejected = [3]) * 4
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%- set c = (1 / b).decimal
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%- set borne = 4*b
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%- set valeq = (a*b/2).decimal
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}]
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On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~\Var{borne}]$ par:
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\[f(x) = \np{\Var{a}}(x + \Var{b})\text{e}^{- \Var{c}x}.\]
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\textbf{Partie A - Étude graphique}
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On a représenté sur le graphique en annexe, la courbe représentative de la fonction $f$.
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\begin{enumerate}
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\item Avec un tableur tracer et imprimer la courbe représentative de $f$ sur $I$
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\end{enumerate}
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\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{\Var{valeq}}$.
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\item Donner un encadrement de la quantité
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\[
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\int_{2}^{\Var{(borne/2).decimal}} f(x) \; dx
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\]
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Vous expliquerez votre démarche en utilisant le graphique.
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie B - Étude théorique}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item Étude des variations.
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\begin{enumerate}
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\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\intFF{0}{\Var{borne}}$.
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Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f'(x) = - \Var{a*c}x\text{e}^{-\Var{c}x}$.
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\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle $\intFF{0}{\Var{borne}}$. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.
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\item Démontrer que l'équation $f(x) = \np{\Var{valeq}}$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{0}{\Var{borne}}$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.
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\end{enumerate}
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\item Étude de la convexité
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\begin{enumerate}
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\item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $\intFF{0}{\Var{borne}}$.
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Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f''(x) = (\Var{a*c*c}x-\Var{a*c})\text{e}^{-\Var{c}x}$.
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\item Démontrer que $f$ admet un point d'inflexion dont on donnera son abscisse.
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\end{enumerate}
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\item Aire sous la courbe
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\begin{enumerate}
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\item On souhaite approximer la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ par la droite $D$ qui relie les points $(0;f(0))$ et $(\Var{borne}, f(\Var{borne}))$. Tracer cette droite sur le graphique.
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\item On note $g$ la fonction affine qui décrit cette droite $D$. Détermine l'expression de $g$
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\item Calculer $\displaystyle \int_0^{\Var{borne}} g(x)\; dx$
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\item Avec la calculatrice, calculer une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{\Var{borne}} f(x) \; dx$
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\item Comparer les valeurs trouvées aux deux questions précédentes. Comment s'explique l'écart entre ces deux valeurs?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textbf{Partie C - Application économique}
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Une entreprise a pris la décision de fermer son usine de production de smartphones en \Var{borne} mois.
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La fonction capacité de production de cette usine est modélisée sur l'intervalle $\intFF{0}{\Var{borne}}$ par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
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Le nombre $x$ représente le temps en mois après la décision de la fermeture du site et le nombre $f(x)$ représente capacité production de smartphone au moment $x$.
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Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{7}
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\item Combien de smartphones pouvaient être produit à la fermeture de l'usine?
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\item Pendant combien de temps la capacité de production de l'usine a réussi à se maintenir au dessus de \np{\Var{valeq}}?
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\item Combien de smartphones ont pu être produit entre la prise de décision et la fermeture de l'usine?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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%- set ymax = int((a*(b+1)/10).decimal._mo.value/1000)*1000
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%- set xscale = (15/borne).decimal
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\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=\Var{xscale}]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=\Var{borne+1},xstep=1,
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ymin=0,ymax=\Var{a*(b+1)},ystep=\Var{ymax}]
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\tkzGrid
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\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=\Var{ymax/5}]
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
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\tkzFct[domain = 0:\Var{borne}, line width=1pt]{\Var{a}*(x+\Var{b})*exp(-\Var{c}*x)}
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%M\tkzFct[domain = 0:\Var{borne}, line width=1pt, blue]{\Var{valeq}}
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\end{tikzpicture}
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\item Tracer la droite $y=\Var{valeq}$. C'est l'abscisse de l'intersection entre cette droite et la courbe
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\item
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\item
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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