2019-2020/TES/Exponentielle/Etude_fonction/3E_annales.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Janvier 2020}

\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Métropole Juin 2018}]
    On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par

    \[f(x) = (2x+1)e^{-2x}+3.\]

    On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in  [-2~;~4]$,

            \[f'(x)=-4xe^{-2x}.\]

        \item Étudier les variations de $f$.
        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
        \item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,

            \[f''(x)=(8x-4)e^{-2x}.\]

            \begin{enumerate}
                \item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
                \item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe. 
            \end{enumerate} 
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2018}]
    Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
    \begin{multicols}{2}
        \begin{itemize}
            \item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par 

                \[f(x) = \np{2000}\text{e}^{-0,2x}\]

                pour le produit A ;
            \item  la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par 

                \[g (x)= 15x^2 + 50 x\]

                pour le produit B
        \end{itemize}
    \end{multicols}
        Où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \textbf{Partie A}

    Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.

    Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :


    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
        \item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.

            Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
    \end{enumerate}

    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/produit1B}
    \end{center}
        
    \end{minipage}

    \textbf{Partie B}

    \medskip

    Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.

    On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0~;~14].

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?
                \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14]
                    $h'(x) = - 400\text{e}^{-0,2x} + 30x + 50$.
            \end{enumerate}
        \item ~\\
            \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On admet que le tableau de variation de la fonction $h'$ sur l'intervalle [0~;~14] est :


            \begin{enumerate}
                \item Justifier que l'équation $h'(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.
                \item  En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~14].
            \end{enumerate}
                
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.3\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$h'(x)$/2}{$0$, $14$}
                    \tkzTabVar{-/ $-350$, +/ $h'(14) \approx 446$ }
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
        \item Voici un algorithme :

            \begin{minipage}{0.55\textwidth}
                \begin{enumerate}
                    \item Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?
                    \item En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que X contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l'exécution de l'algorithme.
                \end{enumerate}

            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.35\textwidth}
                \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
                    $Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X) + 30X + 50$\\
                    Tant que $Y \leqslant 0$\\
                    \hspace{0.7cm}$X \gets X + 0,1$\\
                    \hspace{0.7cm}$Y \gets  -400 \,\text{exp}(- 0,2X)+ 30X +50$\\
                    Fin Tant que\\ \hline
                \end{tabularx}
            \end{minipage}
    \end{enumerate}

\end{exercise}

\end{document}