55 lines
1.5 KiB
TeX
55 lines
1.5 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{Notion d'intégrale}
|
||
|
|
\tribe{Terminale TESL}
|
||
|
|
\date{Janvier 2020}
|
||
|
|
|
||
|
|
\pagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\setcounter{section}{3}
|
||
|
|
\section{Point de vue intégrale de la loi uniforme}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Rappels}
|
||
|
|
|
||
|
|
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\intFF{a}{b}$. Alors pour tout nombre $c$ et $d$ de l'intervalle $\intFF{a}{b}$ tels que $c \leq d$on a
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(c\leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Ce calcul est justifié par le rapport entre la longueur du segment où $X$ peut prendre ses valeurs (segment $[AB]$) et la longueur du segment des valeurs "intéressantes" (segment $[CD]$).
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Un autre point de vue}
|
||
|
|
|
||
|
|
On peut associer à $X$ une fonction $f$ constante sur $\intFF{a}{b}$ telle que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
f(x) = \frac{1}{b-a}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Alors la calcul de probabilité vu plus haut peut s'interpréter comme le calcul d'une aire sous la courbe et donc d'une intégrale:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
P(c\leq X \leq d) = \int_c^d f(x) dx = \frac{1}{b-a} \times (c-d)
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
|
||
|
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=3.3,xstep=1,
|
||
|
|
ymin=0,ymax=2,ystep=1]
|
||
|
|
\tkzDrawXY
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Définition}
|
||
|
|
Cette fonction $f$ est appelée \textbf{la fonction densité de $X$} et doit vérifier
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\int_a^b f(x) dx = 1
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Ce qui s'interprète comme la probabilité d'avoir un nombre compris entre $a$ et $b$ doit être égal à 1.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|