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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équation avec l'exponentielle}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Mars 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations et exponentielle}]
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Résoudre les équations et inéquation suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $e^{3x} = e^{2x-1}$
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\item $e^{x^2} = e^{4x + 1}$
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\item $1 = e^{x^2 + 2x + 4}$
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\item $e^{3x} \geq e^{-2x-4}$
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\item $e^{x^2 - 2} > 1 $
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\item $e^{x^2 + 2x + 4} < 0$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Y a-t-il toujours des solutions?}]
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On souhaite résoudre les équations du type
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\[
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e^x = a
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\]
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En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions.
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\begin{enumerate}
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\item À quelles conditions sur $a$, cette équation a-t-elle une solution?
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\item Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus?
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\item (*) Soit $a \in \intOO{0}{+\infty} = \R^{+*}$ démontrer que l'équation une unique solution sur $\R$ que l'on nommera $b$.
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\end{enumerate}
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La dernière question de l'exercice démontre pour tout $a\in \intOO{0}{+\infty}$ il existe un unique $b \in \R$ tel que $e^{b} = a$. On peut alors définition la fonction qui à $a$ associe $b$, c'est le logiciel népérien: $\ln(a) = b$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{3}
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\item (*) Démontrer que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $e^{\ln(x)} = x$.
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\item (*) En déduire que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $\ln(e^x) = x$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Retour aux équations}]
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Résoudre les équations et inéquation suivantes
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $e^{x} = 5$
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\item $e^{x} = 1$
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\item $e^{x} = -10$
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\item $e^{2x} = 3$
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\item $e^{-3x} = 10$
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\item $e^{5x+1} = 10$
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\item $2e^{x} = 6$
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\item $-3e^{x} = -9$
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\item $4e^{x} + 1 = 6$
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\item $-5e^{-x} + 1 = -1$
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\item $4e^{x^2} - 3 = 6$
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\item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\vfill
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\printexercise{exercise}{3}
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\end{document}
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