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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Probabilité conditionnelle - Annales}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Novembre 2019}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\setlength{\columnseprule}{0pt}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Aéroport}]
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Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
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On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
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\begin{itemize}
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\item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
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\item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
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\end{itemize}
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On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
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\begin{itemize}
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\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
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\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
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\end{itemize}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
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\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
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\item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
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\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$M$}
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child {node {$S$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{S}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child[missing] {}
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child { node {$\overline{M}$}
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child {node {$S$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{S}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Sponsort}]
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Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
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traversée de l'Atlantique à la voile.
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\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}
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Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.
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La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.
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Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.
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Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.
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On note $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg et $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
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\begin{enumerate}
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\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
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\item Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
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prochaine course est $0,428$.
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\item L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
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Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
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de $6$ jours.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Paiements}]
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Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
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régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
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la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
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de la transaction).
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Il remarque que 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :
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\begin{itemize}
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\item 40\,\% paient en espèces;
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\item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
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\item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
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\end{itemize}
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Et que 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
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\begin{itemize}
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\item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
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\item les autres paient en espèces.
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\end{itemize}
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On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
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On considère les évènements suivants :
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$V$ : \og le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;
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$E$ : \og le client a réglé en espèces\fg ;
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$C$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;
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$S$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
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$V$ notée $P_V(S)$.
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\item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
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\item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
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bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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