2019-2020/TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/1E_algo.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}

\pagestyle{empty}


\title{Algorithme et suite}
\date{Novembre 2019}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Algorithme pour générer des nombres}]
    Ci-dessous 2 algorithmes et les nombres générés en fonction du nombre $n$ entré.

    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \textbf{Algorithme 1 .}
        \begin{algorithm}[H]
            \SetAlgoLined
            \Entree{n}
            \Deb{
                $u \leftarrow 4$ \;
                \Pour{$i$ de 1 à n}{
                    $u \leftarrow u\times 1.5$ \;
                }
            }
            \Sortie{u}
        \end{algorithm}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \textbf{Algorithme 2 .}
        \begin{algorithm}[H]
            \SetAlgoLined
            \Entree{n}
            \Deb{
                $u \leftarrow 10$ \;
                \Pour{$i$ de 1 à n}{
                    $u \leftarrow 0.9*u + 11$ \;
                }
            }
            \Sortie{u}
        \end{algorithm}
    \end{minipage}
    \hfill

    \begin{enumerate}
        \item Exécuter les algorithmes pour n=2, n=3... jusqu'à n=6.
        \item Modéliser avec une suite les valeurs renvoyées par les algorithmes.
        \item Tracer l'allure de la  représentation graphique des valeurs retournées par les algorithmes.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[ subtitle={ Comportement à long terme } ]
    Dans cet exercice, on souhaite déterminer l'effet à long terme d'une baisse ou d'une hausse à taux constant à partir de la valeur initial 1  (on peut imaginer 1hectare, 1 milliard de personnes...).
    \begin{enumerate}
        \item La quantité considérée baisse à intervalles réguliers de 40\% de sa valeur.
            \begin{enumerate}
                \item  Déterminer la quantité après un intervalle de temps. Après deux intervalles.

                    \begin{minipage}{0.7\linewidth}
                    \item À long terme, comment décrire cette quantité?
                    \item Modéliser l'évolution de cette quantité à l'aire d'une suite.
                    \item On considère l'algorithme ci-contre.

                        L'exécuter et noter la valeur de $N$ finale pour:
                        \begin{itemize}
                            \item $S = 0.1$
                            \item $S = 0.05$
                            \item $S = 0.01$
                            \item $S = 0.001$
                        \end{itemize}
                    \item Ces résultats confirment-ils la réponse à la questions 1.b?
                    \end{minipage}
                    \hfill
                    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
                        \begin{algorithm}[H]
                            \SetAlgoLined
                            \Entree{S}
                            \Deb{
                                $N \leftarrow 0$ \;
                                $U \leftarrow 1$ \;
                                \Tq{$U > S$}{
                                    $U \leftarrow 0.6*U$ \;
                                    $N \leftarrow N+1$ \;
                                }
                            }
                            \Sortie{u}
                        \end{algorithm}
                    \end{minipage}

            \end{enumerate}
        \item On considère maintenant une quantité  qui augmente de 30\% par intervalle. 
            \begin{enumerate}
                \item Quel semble être le comportement à long terme de cette quantité?
                \item Adapter l'algorithme précédent pour confirmer votre réponse.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'une monnaie}]
    Le 28 juin 1919, a été signé dans la galerie des glaces du château de Versailles, le traité de pais imposant à l'Allemagne  de rembourser les dégâts causés par la Première Guerre Mondiale. Ne pouvant pas rembourser cette dette, l'Allemagne a connu une forte dépréciation du mark (DM) en 1923 suite à l'occupation de la Ruhr par l'Armée française.

    En janvier 2923, 1 dollars US (\$) valait \np{17972}DM. En juillet 2923, 1\$ valait \np{354412}DM.

        \begin{enumerate}
            \item Quel a été le taux d'évolution de la valeur en DM de 1\$ sur cette période?

    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
            \item Montrer que la hausse mensuelle a été d'environ 64,5\%.
            \item Proposer une modélisation à l'aide d'une suite de la valeur en DM de 1\$.
            \item Compléter l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de mois qu'il aurait fallu attendre à partir de juillet 1923 pour que 1\$ dépasse 10 millions de marks.
            \item Exécuter l'algorithme.
            \item En août 1923, 1\$ valait \np{4620455}DM. Que peut-on dire du modèle étudier.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \begin{algorithm}[H]
            \SetAlgoLined
            \Deb{
                $N \leftarrow 0$ \;
                $U \leftarrow \np{354412}$ \;
                \Tq{\ldots}{
                    $N \leftarrow \ldots$ \;
                    $U \leftarrow \ldots$ \;
                }
            }
            \Sortie{\ldots}
        \end{algorithm}
    \end{minipage}
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}