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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Recherche de limite de suite - Limites}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{Décembre 2019}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Avec la calculatrice}]
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Déterminer grâce à la calculatrice la limite de chacune des suites géométriques suivantes.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
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\item $v_0 = 2$ et $w_{n+1} = 1.1w_n+1$
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\item $w_n = 3n^3 - 10n^2 + 1$
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\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
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\item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
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\item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
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\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
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\item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
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\item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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Classer les suites précédentes en fonction de leurs limites et établir les règles pour connaître la limite des suites géométriques.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limite d'une suite}]
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Retrouver les limites des suites suivantes sans utiliser la calculatrice.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = 2u_n$
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\item $(u_n)$ géométrique telle que $u_0=10$ et $q=0.5$
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\item $u_{n} = 1 + 0.5^n$
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\item $u_{n} = 4 + 1.5^n$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Utilisateurs d'une machine à café}]
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Au premier janvier, on comptait \np{60000} utilisateurs d'une machine à café. On estime que chaque mois, 10\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateur de cette machine à café $n$ mois après le premier janvier 2017 peut être modélisé par la suite $(u_n)$ définie par
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\[
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u_0 = \np{60000} \quad \mbox{ et } u_{n+1} = 0.9u_n + \np{24000}
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\]
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\item Pourquoi la suite $(u_n)$ n'est elle pas géométrique?
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\item Conjecturer la limite de cette suite $(u_n)$.
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\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entiers naturel $n$ par $v_n = u_n -\np{240000}$. On admet que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0.9 et de premier terme -\np{180000}. Démontrer que pour tout $n$ on a $v_n = -\np{180000}\times 0.9^n$.
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\item Quelle est la limite de la suite $(v_n)$?
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\item Démontrer que pour tout entier $n$, $u_n = \np{240000} - \np{180000}\times0.9^n$
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\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\printexercise{exercise}{3}
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\end{document}
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