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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équations différentielles d'ordre 1: Annales}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Avril 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Clinker}]
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Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
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Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{900000}~dm$^3$.
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À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6\,\%.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{5400}~dm$^3$ .
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\item Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l'entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après $20$~h, exprimé en minutes. $t$ varie ainsi dans l'intervalle [0~;~690] puisqu'il y a $690$ minutes entre 20 h et 7 h 30.
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On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle
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\[ \quad (E) : y' + 0, 01y = 4,5.\]
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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\item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$.
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\end{enumerate}
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\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21 h ?
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\item Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7 h 30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06\,\%.
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Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
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\item Déterminer l'heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Essence}]
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
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du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
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l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
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\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
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À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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\item Donner $f(0)$.
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\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Par une lecture graphique, déterminer $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
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Interpréter le résultat dans le contexte.
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\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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