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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Bilan - loi uniforme}
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\tribe{Terminale Sti2d}
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\date{Novembre 2019}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{itemize}
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\item Dans le cas de l'expérience de Zaidou qui gagne quand la fléchette est dans le rectangle gris.
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\bigskip
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\hspace{-1cm}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=0.4,ystep=.05]
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\fill[very thick, color=green!50] (1,0) rectangle (2.5, 5);
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.6,right space=.5]
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\draw[line width=2pt, color=red] (0,5) -- (4, 5);
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\draw[line width=2pt, color=red, dotted] (0,0) -- (0, 5);
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\draw[line width=2pt, color=red, dotted] (4,0) -- (4, 5);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On note $X$ la variable aléatoire liée à l'expérience de Zaidou.
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\[
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P(X\in \colorbox{green}{\parbox[c][3mm]{5mm}{}}) = \frac{\mbox{\color{green}Espace gagnant}}{\mbox{\color{red}Espace possible}} = \frac{1,5\times0,25}{4\times0.25} = \frac{0.375}{1} = 0.375
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\]
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On remarque qu'ici on a calculé des aires.
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\end{minipage}
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\end{itemize}
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\bigskip
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Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, la loi était décrite par un tableau de valeur (voir première partie de ce chapitre).
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Dans le cas d'une variable aléatoire continue, la loi sera décrite par une fonction appelée \textbf{fonction de densité}.
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\subsection*{Définition - fonction de densité}
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Soit $f$ une fonction \textbf{continue} et positive sur l'intervalle $\intFF{a}{b}$.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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$f$ est une \textbf{fonction de densité} sur $\intFF{a}{b}$ si
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\[
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\int_{a}^{b} f(x)dx = 1
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\]
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On peut alors calculer une probabilité
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\[
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P(X\in\intFF{c}{d}) = P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(x)dx
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=3.3,xstep=1,
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ymin=0,ymax=2,ystep=1]
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\tkzDrawXY
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\paragraph{Remarque:} Dans le cas de l'expérience de Zaidou, la fonction de densité est la fonction constante
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\[
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f(x) = \frac{1}{4}\qquad \mbox{ qui vérifie bien que } \qquad \int_0^4 f(x) dx =
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\]
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\afaire{Calcul de l'intégrale}
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\subsection*{Définition - Loi uniforme}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit une variable aléatoire $X$.
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On dit que $X$ suit la \textbf{loi uniforme sur $\intFF{a}{b}$} si sa fonction de densité $f$ est \textbf{constante} sur $\intFF{a}{b}$, c'est à dire définie par
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\[
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f(x) = \frac{1}{b-a}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=3.3,xstep=1,
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ymin=0,ymax=2,ystep=1]
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\tkzDrawXY
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\afaire{Retrouver les fonctions de densité pour les expériences de Djelan et Natacha}
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\end{document}
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