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15 KiB
TeX
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TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Pannes}, step={1}, topics={Loi exponentielle}]
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Une entreprise fabriquant des téléviseurs a effectué un suivi de la première panne des appareils qu'elle a fabriqués et vendus.
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On a réalisé ci-dessous un histogramme résumant les résultats (on a porté en abscisses la durée en mois et en ordonnées la fréquence). Les classes ont une amplitude de 1 mois.
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\includegraphics[scale=0.6]{./fig/graph_panne}
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Par exemple, 1,5\% des appareils vendus ont subi leur première panne 16 mois après leur achat par le client.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne dès le premier mois?
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\item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne au 36e mois?
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\item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne avant le 16e mois? 36e mois?
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\item Représenter sur le graphique ces deux quantités.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Pannes - bis}, step={2}, topics={Loi exponentielle}]
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On reprend l'activité commencée précédemment. Cette fois-ci, on modélise temps avant la première panne par une loi exponentielle de paramètres 0.02.
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On note $X$ la variable qui représenter le temps avant la première panne. On a donc $X \sim \mathcal{E} (0.02)$ et le loi de densité est
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la formule de la densité, $f(x)$, de $X$?
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\item Démontrer que $F(x) = -e^{-0.02x}$ est une primitive de $f(x)$.
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\item Calculer les quantités suivantes
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\[
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\int_0^{16} f(x) \; dx \qquad \qquad
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\int_0^{36} f(x) \; dx
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\]
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\item En déduire les quantités
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\[
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P(X \leq 16) \qquad \qquad P(X\leq 36)
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\]
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X \leq 24) \qquad \qquad P(X \leq 12)
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\]
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la première année?
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la deuxième année?
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\item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne après la fin de la 3e année?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi exponentielle}, step={2}, topics={Loi exponentielle}]
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\begin{enumerate}
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\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0.5.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la densité de $x$? On la notera $f(x)$.
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\item Démontrer qu'une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -e^{-0.5x}$
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\item Calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(X < 1) \qquad P(X < 10) \qquad P(1 < X < 2)
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\]
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\end{enumerate}
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\item Soit $Y \sim \mathcal{E}(0.01)$, calculer les quantités suivantes
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\[
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P(Y < 1) \qquad P(Y < 10) \qquad P(10 < Y < 20)
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\]
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\item Soit $Z \sim \mathcal{E}(0.9)$, calculer les quantités suivantes
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\[
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P(Z < 1) \qquad P(Z < 0.2) \qquad P(0.5 < Z < 0.6)
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={à l'envers}, step={2}, topics={Loi exponentielle}]
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Soit $T \sim \mathcal{E}(0.02)$.
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Déterminer $x$ tel que $P(T \leq x) = 0.5$.
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Comment interpréter le résultat dans le cadre du premier exercice?
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Durée de vie}, step={3}, topics={Loi exponentielle}]
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On note $T$ la variable aléatoire qui modélise la durée de fonctionnement d'un tube fluorescent. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle de paramètre 0.0015.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la densité de $T$?
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\item Calculer les probabilités des évènements suivants
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\begin{itemize}
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\item A: "la durée de bon fonctionnement est compris entre 600h et 700h"
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\item B: "la durée de bon fonctionnement est inférieur à 800h"
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\item C: "Le tube fonctionne encore après 750h"
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\item D: "Le tube fonctionne a arrêté de fonctionner à l'instant 750h"
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\end{itemize}
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\item Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Durée de vie - encore}, step={3}, topics={Loi exponentielle}]
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On note $T$ la variable aléatoire qui modélise la durée de fonctionnement d'un composant électronique. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle dont on ignore le paramètre.
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\begin{enumerate}
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\item Une étude a montré qu'en moyenne la durée de fonctionnement de ce composant est de 5ans. En déduire le paramètre de la loi.
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\item Quelle est la densité de $T$?
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\item Calculer les probabilités des évènements suivants
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\begin{itemize}
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\item A: "la durée de bon fonctionnement est compris entre 1 et 2ans"
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\item B: "la durée de bon fonctionnement est inférieur à 3ans"
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\item C: "Le tube fonctionne encore après 10ans"
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Durée de vie - encore}, step={3}, topics={Loi exponentielle}]
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On note $T$ la variable aléatoire qui modélise la durée de fonctionnement d'un composant électronique. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle dont on ignore le paramètre.
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\begin{enumerate}
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\item Une étude a montré qu'en moyenne la durée de fonctionnement de ce composant est de 5ans. En déduire le paramètre de la loi.
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\item Quelle est la densité de $T$?
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\item Calculer les probabilités des évènements suivants
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\begin{itemize}
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\item A: "la durée de bon fonctionnement est compris entre 1 et 2ans"
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\item B: "la durée de bon fonctionnement est inférieur à 3ans"
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\item C: "Le tube fonctionne encore après 10ans"
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Téléphones portables}, step={4}, topics={Loi exponentielle}]
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% Métropole juin 2019 Exercice 4
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\emph{Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à $10^{-3}$ près. Les trois parties sont indépendantes.}
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\bigskip
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\textbf{Partie A}
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Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués. Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée.
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La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d'un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 4$ et $\sigma = 1,23$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique ?
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\item Déterminer la probabilité $P(3,5 \leqslant D \leqslant 4,5)$.
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\item Lors de l'achat d'un téléphone portable, la garantie pièces et main d' œuvre est de deux ans.
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Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ?
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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Lorsqu'un téléphone portable devient défectueux et qu'il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil neuf.
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On s'intéresse au temps d'attente, exprimé en jours, avant le retour de l'appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,025$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer l'espérance E($T$) de la variable aléatoire $T$.
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\item Interpréter cette valeur dans le contexte.
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\end{enumerate}
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\item Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité $P(T \leqslant 7)$ et interpréter ce résultat.
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\item Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie C}
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\medskip
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Un magazine spécialisé souhaite comparer l'efficacité des services après-vente (S.A.V.) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le magazine obtient les résultats suivants:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{3}{p{5cm}|}}
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\hline
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Marque de téléphone& Nombre de clients du S.A.V. ayant répondu à l'enquête & Nombre de clients indiquant avoir
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récupéré leur téléphone en moins de 20 jours \\ \hline
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A &120 &47\\ \hline
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B &92 &26\\ \hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item On admet que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est [0,304~;~0,480].
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Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B.
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\item Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu'il y a une différence significative dans l'efficacité des deux S.A.V. ? Justifier la réponse.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Téléphones portables}, step={4}, topics={Loi exponentielle}]
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% Antilles Guyane Juin 2019 Exercice 2
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\medskip
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L'énergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe différents dispositifs pour produire de l'électricité à partir de cette énergie. Les installations houlomotrices doivent être capables de résister à des conditions extrêmes, ce qui explique que le coût actuel de production d'électricité par énergie houlomotrice est élevé.
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On estime qu'en 2018 le coût de production d'un kilowattheure (kWh) par énergie houlomotrice était de 24 centimes d'euros. C'est nettement plus que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire, qui était de 6 centimes d'euros en 2018.
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On admet qu'à partir de 2018 les progrès technologiques permettront une baisse de 5\,\% par an du coût de production d'un kilowattheure par énergie houlomotrice.
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Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}
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\medskip
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Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ le coût de production, en centime d'euro, d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année $2018 + n$.
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Ainsi, $c_0 =24$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $c_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
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\item Déterminer la nature de la suite $\left(c_n \right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
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\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,95^n < 0,25$.
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\item Dans cette question, on admet que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire reste constant et égal à 6 centimes d'euros.
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Déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.
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\item Dans cette question, on estime que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire va augmenter tous les ans d'un centime d'euro. On souhaite alors déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin que la valeur de la variable $N$ en sortie d'algorithme permette de répondre au problème.
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{algorithm}[H]
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\SetAlgoLined
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$C \leftarrow 24$ \;
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$D \leftarrow 6$ \;
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$N \leftarrow 2018$ \;
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\Tq{\makebox[2cm]{\dotfill}}{
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$C \leftarrow \makebox[2cm]{\dotfill}$ \;
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$D \leftarrow \makebox[2cm]{\dotfill}$ \;
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$N \leftarrow N+1$ \;
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}
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\end{algorithm}
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\end{minipage}
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\end{center}
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|
\item Répondre au problème posé. Aucune justification n'est demandée.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\medskip
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\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}
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\medskip
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On admet que la durée de vie d'un composant électronique d'une installation houlomotrice, exprimée en année, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont le paramètre $\lambda = 0,04$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la durée de vie moyenne de ce composant électronique.
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\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$ par $f(x)=0,04\e^{-0,04x}$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$.
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\item On rappelle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty [$ :\[P\left( X\leqslant t \right)=\displaystyle\int_0^t f(x) \mathrm{d}\, x .\]
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Démontrer que $P\left( X\leqslant t \right)=1-\e^{- 0,04t}$.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $P\left(X > 15\right)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.
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\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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