2019-2020/Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/2B_calculer_proba.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Loi Exponentielle}
\date{Avril 2020}
\begin{document}
\setcounter{section}{1}
\section{Calculer une probabilité}
\subsection*{Propriétés}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Si on note $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ alors
\begin{itemize}
\item Pour tout $x_1 < x_2$ deux réels positif on a
\[
P(x_1 \leq X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(t) \; dt
\]
\item Pour tout $x_1$ réel positif on a
\[
P(X \leq x_1) = \int_{0}^{x_1} f(t) \; dt
\]
\item Comme la loi exponentielle est une loi continue, alors pour tout $x_1$ réel positif, $P(X=x_1) = 0$
\end{itemize}
\bigskip
Pour calculer une probabilité avec la loi exponentielle, il nous faut une nouvelle formule de primitive.
\subsection*{Propriété}
Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ alors
\[
F(x) = e^{u(x)} \mbox{ est une primitive de } f(x) = u'(x) e^{u(x)}
\]
\subsection*{Exemple}
Soit $X \sim \mathcal{E}(0.04)$. Calculer $P(1,5\leq X \leq 3.5).
\afaire{Reprendre l'exemple de \href{https://video.opytex.org/videos/watch/e39ffa8e-d1a6-42ef-a732-a5781cb6a538}{la vidéo sur la méthode}}
\end{document}