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Découverte du nombre dérivé pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques
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:date: 2020-03-07
:modified: 2020-03-07
:authors: Bertrand Benjamin
:tags: Fonctions, Nombre dérivé
:category: 1techno
:summary: Du taux de variation au nombre dérivé avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.


Étape 1: Taux de variation au nombre dérivé
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On calcule des taux de variation sur des écarts de plus en plus petit pour gagner en précision.

On parle alors de vitesse instantanée ou de coût marginal.

Étape 2: Tangente à une courbe
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Grâce à Géogébra, on montre graphiquement à quoi correspond les calculs fait dans l'étape précédente. On cherchera alors à formaliser la notion de tangente.

.. image:: 2E_tangente.pdf
    :height: 200px
    :alt: Tracer des tangentes et calculer coefficient directeur.

Les élèves vont ensuite travailler à tracer des tangentes pour ensuite trouver les équations des droites et en particulier leur coefficient directeur.

On formalisera le fait que le coefficient directeur est appelé nombre dérivé et on donnera la notation.

À la suite de cette activité, on posera les deux questions suivantes:
- Y a-t-il un lien entre le coefficient directeur de la tangente et la croissance de la fonction.
- Pour la première fonction peut-on trouver une fonction qui décrit le passage de x au coefficient directeur?

Étape 3: Nombre dérivé
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Calculer de plein plein de nombre dérivés et recherche de formule pour calculer les nombres dérivés.

.. image:: 3E_nombre_derive.pdf
    :height: 200px
    :alt: Lire graphiquement des nombres dérivés et trouver une formule pour les calculer.

Exercices contextualisés sur le nombre dérivé. On partagera la classe en 2 en fonction des spécialités de chacun. Chaque élève fera les exercices de sa spécialité puis ils présenteront aux autres leur exercice.

.. image:: 3E_nombre_derive_bis.pdf
    :height: 200px
    :alt: Exercices sur le nombre dérivé avec contextualisation

Dans ces exercices certaines ordonnées à l'origine sont en dehors du graphique. C'est l'occasion de parler de la formule pour calculer l'équation de la tangente.

.. image:: 3B_equation_tangente.pdf
    :height: 200px
    :alt: Bilan sur l'équation de la tangente


Étape 4: Fonction dérivée
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On va pouvoir faire une étape "classe puzzle" (ou jigsaw classroom)! Chaque groupe aura une série de 3 fonctions dont ils devront chercher les nombres dérivés et intuiter une fonction dérivée. Ensuite on recompose les groupes qui devront faire un bilan des formules de tous les membres et commencer à constituer un formulaire de formule de dérivation.

.. image:: 4E_fonction_derivee.pdf
    :height: 200px
    :alt: Fonctions pour intuiter des dérivés.


Tous les sets de fonctions ne sont pas de difficulté équivalente. En particulier, l'exercice 3 et 5 sont plus compliqués.

On fera ensuite un bilan en pleinière sur ce formulaire.

.. image:: 4B_fonction_derivee.pdf
    :height: 200px
    :alt: Bilan sur la fonction dérivée

Étape 5: Étude des variations d'une fonction
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Un exemple au tableau où l'on dérive, étudie le signe de la dérivée puis en déduit les variations. Suivent pleins de fonction où l'on reproduit ce schéma.

.. image:: 5B_variations_min_max.pdf
    :height: 200px
    :alt: Bilan sur l'étude des variations d'une fonction

.. image:: 5E_etude_cas.pdf
    :height: 200px
    :alt: Exercices de mise en contexte de la dérivée

Étape 6: Tache complexe
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.. image:: 6E_enclos.pdf
    :height: 200px
    :alt: Énoncé de la tache complexe (les valeurs sont différentes pour chaque groupe)

Tache complexe à faire sur 2h en salle informatique. Elle n'est pas faite juste après cette séquence mais distante de quelques semaine.

Les élèves sont par deux, ils sont autorisés à communiquer entre groupe. Le rendu final peut être manuscrit ou numérique et il sera évalué à travers les 6 compétences.

.. image:: 6P_enclos_notation.pdf
    :height: 200px
    :alt: Explication des critères d'évaluations

Notation (3points par compétences):

- Rechercher:

  - Expérimenter plusieurs configurations
  - Voir le cheminement des 2 séances
  - Illustrer plusieurs niveaux de réponses

- Modéliser: 

  - Distinction aire et périmètre
  - Dépendance entre longueur et largeur
  - Fonction calculant l'aire

- Représenter:

  - exprimer la situation avec une formule tableur
  - exprimer la situation avec un calcul algébrique
  - repérer le max avec un graphique

- Raisonner:

  - approximer le max
  - pleins de calculs ne sont pas assez pour démontrer qu'on atteint le max
  - utilisation de la dérivée pour démontrer

- Calcul:

  - les calculs d'air
  - calcul de la dérivée

- Communication:

  - clarté de la réponse
  - calculs décrits par une phrase
  - explications pertinentes