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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DM 1 -- BOUNOUS Matthieu}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{15 novembre 2019}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
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Une commune de \np{2000} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 5\,\% tous les ans.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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\smallskip
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La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{16000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 1.3000\,\% par an.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
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\end{enumerate}
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On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
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Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
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\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0.94^n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
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\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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\end{enumerate}
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Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{6}
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\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Augmenter de 5\% revient à multiplier pas 1.05. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.05 et de premier terme 2000. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
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\[
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h_n = 2000\times 1.05^n
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\]
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\item Augmenter de 1.3000\% revient à multiplier pas 0.9870. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 0.9870 et de premier terme 16000. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
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\[
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d_n = 16000\times 0.9870^n
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\]
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\item
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{16000}{2000} = 8
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\]
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\[
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u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{15792}{2100} = 7.52
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\]
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\item Démonstration de la formule
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\begin{eqnarray*}
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u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{16000\times0.9870^n}{2000\times1.05^n} \\
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u_n &=& \frac{16000}{2000}\times\left(\frac{0.9870}{1.05}\right)^n \\
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u_n &=& 8\times0.94^n
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\end{eqnarray*}
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\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.94 et de premier terme 8.
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\item La raison, $q = 0.94$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
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\end{enumerate}
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\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 8$ avec $u_{8} = 4.8765515083286528$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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\section*{Partie A}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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\[
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f(x) = - 4x^2 + 10x - 2
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la dérivé de $f$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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\[
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g(x) = 3x^3 - x^2 - 4x - 9
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\]
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
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\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
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\item Calculer la dérivé de $g$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
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\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
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\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
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\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\section*{Partie A}
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\begin{enumerate}
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\item $10 - 8x$
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\item Correction non disponible
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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\begin{enumerate}
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\item Correction non disponible
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\item Correction non disponible
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\item $g'(x) = - 4 - 2x + 9x^2$
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\item
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On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=- 4 - 2x + 9x^2$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & - 2^{2} - 4 \times 9 \times - 4 \\
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\Delta & = & 4 - 36 \times - 4 \\
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\Delta & = & 4 + 144 \\
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\Delta & = & 148
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = 148 > 0$ donc $P$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 2 - \sqrt{148}}{2 \times 9} = - 0.5647513922553578 \\
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x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 2 + \sqrt{148}}{2 \times 9} = 0.78697361447758
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, $g'$ est du signe de $a=9$ en dehors des racines.
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Le tableau de variation non disponible en correction
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\item Équation de la tangente: $y = - 4x + - 9$
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\item $g''(x) = 18x - 2$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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