2019-2020/TES/DM/DM_19_10/04_DM_19_10.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tasks}
\usepackage{myXsim}
\title{DM 1 -- CRETIN Marie}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{15 novembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
Une commune de \np{2400} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 8\,\% tous les ans.
Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.
\smallskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\smallskip
La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{24000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de - 0.4400\,\% par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Calculer $u_0$ et $u_1$.
\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 10 \times 0.93^n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
\item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}
Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Augmenter de 8\% revient à multiplier pas 1.08. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.08 et de premier terme 2400. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
\[
h_n = 2400\times 1.08^n
\]
\item Augmenter de - 0.4400\% revient à multiplier pas 1.0044. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 1.0044 et de premier terme 24000. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
\[
d_n = 24000\times 1.0044^n
\]
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{24000}{2400} = 10
\]
\[
u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{24105.6000}{2592} = 9.30
\]
\item Démonstration de la formule
\begin{eqnarray*}
u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{24000\times1.0044^n}{2400\times1.08^n} \\
u_n &=& \frac{24000}{2400}\times\left(\frac{1.0044}{1.08}\right)^n \\
u_n &=& 10\times0.93^n
\end{eqnarray*}
\item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.93 et de premier terme 10.
\item La raison, $q = 0.93$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
\end{enumerate}
\item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 10$ avec $u_{10} = 4.83982307179293182490$
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
\section*{Partie A}
Dans cette partie, on étudie la fonction
\[
f(x) = - 6x^2 - 8x - 4
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivé de $f$.
\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
Dans cette partie, on étudie la fonction
\[
g(x) = x^3 - 10x^2 + 7x + 1
\]
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
\item Calculer la dérivé de $g$.
\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\section*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item $- 8 - 12x$
\item Correction non disponible
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Correction non disponible
\item Correction non disponible
\item $g'(x) = 7 + 3x^2 - 20x$
\item
On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=7 + 3x^2 - 20x$.
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Delta & = & - 20^{2} - 4 \times 3 \times 7 \\
\Delta & = & 400 - 12 \times 7 \\
\Delta & = & 400 - 84 \\
\Delta & = & 316
\end{eqnarray*}
comme $\Delta = 316 > 0$ donc $P$ a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 20 - \sqrt{316}}{2 \times 3} = 0.3706018608948038 \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- 20 + \sqrt{316}}{2 \times 3} = 6.296064805771863
\end{eqnarray*}
Ainsi, $g'$ est du signe de $a=3$ en dehors des racines.
Le tableau de variation non disponible en correction
\item Équation de la tangente: $y = 7x + 1$
\item $g''(x) = - 20 + 6x$
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: