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2.7 KiB
TeX
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%- macro solveEquation(P)
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On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=\Var{P}$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Var{P.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
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\end{eqnarray*}
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comme $\Delta = \Var{P.delta} > 0$ donc $P$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} - \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots[0] } \\
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x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} + \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots[1] }
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\end{eqnarray*}
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Ainsi, $g'$ est du signe de $a=\Var{P.a}$ en dehors des racines.
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%- endmacro
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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\section*{Partie A}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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%- set f = Expression.random("{a}*x^2+{b}*x+{c}")
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%- set Df = f.differentiate()
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\[
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f(x) = \Var{f}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la dérivé de $f$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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Dans cette partie, on étudie la fonction
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%- set g = Expression.random("{a}*x^3+{b}*x^2+{c}*x+{d}", conditions=["4*b**2-4*3*a*c>0"])
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%- set Dg = g.differentiate()
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%- set maxg = round(max(abs(g(Dg.roots[0]).raw),abs(g(Dg.roots[0]).raw)),1)
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\[
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g(x) = \Var{g}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
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\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
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\item Calculer la dérivé de $g$.
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\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
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\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
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\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
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\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\section*{Partie A}
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\begin{enumerate}
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\item $\Var{Df}$
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\item Correction non disponible
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\end{enumerate}
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\section*{Partie B}
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\begin{enumerate}
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\item Correction non disponible
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\item Correction non disponible
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\item $g'(x) = \Var{Dg}$
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\item
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\Var{solveEquation(Dg)}
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Le tableau de variation non disponible en correction
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\item Équation de la tangente: $y = \Var{Dg(0)}x + \Var{g(0)}$
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\item $g''(x) = \Var{Dg.differentiate()}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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