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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Janvier 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
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Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2e^{-3x}$ , $I = \R$
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\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
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\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $I=\intFF{-3}{3}$ par $f(x) = 5e^{-0,5x^2}$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe sur $I$.
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\item Dresser le tableau de variation de $f$.
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\item Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solution?
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $f''(x) = (5x^2-5)e^{-0,5x^2}$.
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\item Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet 2 points d'inflexions. Déterminer leur abscisse.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équilibre du marché}]
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Une entreprise fabrique des housses isothermes pour canettes. Le prix à l'unité peut varier entre 5 et 10\euro l'unité. Une étude de marché a permis de modéliser l'offre et la demande en fonction du prix, $x$, par les fonctions suivantes
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\begin{itemize}
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\item L'offre: $f(x) = 10x-20$ (nombre de housse produite en fonction du prix unitaire)
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\item La demande: $g(x) = 180e^{-0,12x}$ (nombre de housse achetée en fonction du prix unitaire)
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\end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que le prix de vente est fixé à 6\euro.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle sera la quantité de housses achetées?
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\item Quelle sera la quantité de housses vendues?
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\item Qui de l'entreprise ou des clients ne sera pas satisfait par un prix de 6\euro?
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\end{enumerate}
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\item On appelle \textbf{prix d'équilibre} le prix unitaire $x$ tel que l'offre est égale à la demande. Pour le déterminer, on définit la fonction $h$ par $h(x) = f(x) - g(x)$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
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\item Construire le tableau de variation de $h$.
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\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{5}{10}$. Donner une valeur approchée à 0,1près.
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\item Quel est la prix d'équilibre de ce produit d'après cette étude de marché?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\printexercise{exercise}{3}
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\end{document}
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