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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Logarithme - relation fonctionnelle}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Mars 2020}
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\begin{document}
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\section{Logarithme népérien}
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\subsection*{Définition}
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Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
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$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
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\[
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e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
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\]
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La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
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\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
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\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
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\subsection*{Propriétés}
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
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\item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
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\end{itemize}
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\section{Utilisation pour résoudre des équations}
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Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
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\subsection*{Propriétés}
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Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
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\item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
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\item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
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\end{document}
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