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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équation avec l'exponentielle}
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\tribe{Terminale ES}
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\date{Mars 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations avec logarithme}]
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Résoudre les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ln(x) = 4$
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\item $\ln(x) + 1 = 0$
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\item $5\ln(x) -3 = 5$
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\item $\ln(x) =3\ln(5)$
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\item $\ln(2x+3) = 0$
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\item $(x+1)\ln(x) = 0$
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\item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
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\item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
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\item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Le premier est le plus proche d'un exercice type bac, le 2e demande de la prise d'initiative et le 3e en plus d'actualité}
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\begin{exercise}[subtitle={Renard}]
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Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
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Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an.
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Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
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On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante \\$u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$ et $u_2$
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\item Est-ce que la suite $(u_n)$ est géométrique?
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\end{enumerate}
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On veut chercher une formule explicite pour cette suite $(u_n)$. Pour cela, on passe par une suite annexe $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 200$
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer $v_0$ et $v_1$
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\item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item Démontrer que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
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\item Par le calcul, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}]
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Une entreprise achète une machine neuve dont le prix est de \np{84000}\euro. On estime qu'elle se déprécie de 12\% par an.
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser la situation avec une suite en précisant sa formule explicite.
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\item Sans utiliser le tableur de la calculatrice, calculer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera en dessous de \np{20000}\euro.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution moyen}]
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D'après Wikipédia, le nombre de cas constaté d'infectés par le Covid-19 en France est passé de 130 cas au premier mars à \np{44550} le 30 mars.
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\includegraphics[scale=0.5]{./fig/evo_covid}
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution du nombre de cas constatés entre le 1 mars et le 30 mars.
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\end{enumerate}
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On souhaite calculer le taux d'évolution moyenne journalier du nombre d'infectés. Pour cela, on modélise cette quantité par une suite géométrique $(u_n)$ où $n$ désigne le nombre de jours depuis le 1mars. On a donc
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item D'après les données de l'énoncé (pas le graphique) déterminer $u_0$ et $u_{29}$.
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\item On note $q$ la raison de cette suite (qui est inconnue). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\item En déduire des deux questions précédente la valeur de $q$.
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\item $q$ Représente le coefficient multiplicateur moyen journalier du nombre d'infectés. En déduire, le taux d'évolution moyen.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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