2019-2020/TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3B_limites.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{booktabs}
\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
\date{Décembre 2019}
\begin{document}
\section*{Limite de suites géométriques}
\subsection*{Propriété}
Soit $q$ un réel strictement positif Alors
\begin{itemize}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Si $0 < q < 1$, quelque soit le nombre $m$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous inférieurs à $m$.
On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est 0. Ce qui se note:
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=3]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid[sub,subystep=0.1,subxstep=1]
\tkzAxeXY[up space=0.1,right space=.5]
\global\edef\tkzFctLast{0.7^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{0.24}
\draw (0,0.24) node [left] {$m$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Si $ 1< q $, quelque soit le nombre $M$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous supérieur à $M$.
On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. Ce qui se note:
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{6.5}
\draw (0,6.5) node [left] {$M$};
\end{tikzpicture}
\hfill
\end{minipage}
\end{itemize}
\subsection*{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors les limites possibles sont résumées dans le tableau suivant.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& $q \in \intOO{0}{1}$ & $q > 1$ \\
\hline
$u_0 > 0 $ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=4,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{3*0.8^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
$u_0 < 0 $ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=-4,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{0.7^x*(-3)}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=-8,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{-1*(1.3)^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\afaire{Compléter le tableau avec les limites vues en classe}
\end{document}