2019-2020/TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3B_limites.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
\date{Décembre 2019}

\begin{document}

\section*{Limite de suites géométriques}

\subsection*{Propriété}

Soit $q$ un réel strictement positif Alors
\begin{itemize}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \item Si $0 < q < 1$, quelque soit le nombre $m$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous inférieurs à $m$.

        On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est 0. Ce qui se note:
        \[
            \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
        \]
        
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=3]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
        ymin=0,ymax=1,ystep=1]
       \tkzGrid[sub,subystep=0.1,subxstep=1]
        \tkzAxeXY[up space=0.1,right space=.5]
        \global\edef\tkzFctLast{0.7^x}
        \foreach \va in {0,1,...,9}{%
        \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
        \tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{0.24}
        \draw (0,0.24) node [left] {$m$};
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    \item Si $ 1< q $, quelque soit le nombre $M$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous supérieur à $M$.

        On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. Ce qui se note:
        \[
            \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
        \]
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=0.4]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
        ymin=0,ymax=8,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
        \foreach \va in {0,1,...,9}{%
        \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
        \tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{6.5}
        \draw (0,6.5) node [left] {$M$};
    \end{tikzpicture}
    \hfill
        
    \end{minipage}
\end{itemize}

\subsection*{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors les limites possibles sont résumées dans le tableau suivant.
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
            & $q \in \intOO{0}{1}$ & $q > 1$ \\
            \hline
            $u_0 > 0 $  &
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
                ymin=0,ymax=4,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \global\edef\tkzFctLast{3*0.8^x}
                \foreach \va in {0,1,...,9}{%
                \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
            \end{tikzpicture}
                        &
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
                ymin=0,ymax=8,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
                \foreach \va in {0,1,...,9}{%
                \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
            \end{tikzpicture}
                        \\
            \hline
            $u_0 < 0 $  &
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
                ymin=-4,ymax=1,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \global\edef\tkzFctLast{0.7^x*(-3)}
                \foreach \va in {0,1,...,9}{%
                \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
            \end{tikzpicture}
                        &
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
                ymin=-8,ymax=1,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \global\edef\tkzFctLast{-1*(1.3)^x}
                \foreach \va in {0,1,...,9}{%
                \tkzDefPointByFct[draw](\va)}
            \end{tikzpicture}
                        \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}

    \afaire{Compléter le tableau avec les limites vues en classe}


\end{document}