54 lines
1.8 KiB
TeX
54 lines
1.8 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
|
||
|
|
|
||
|
|
\pagestyle{empty}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{Algorithme et suite}
|
||
|
|
\date{Décembre 2019}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Démonstration de la limite de $q^n$}]
|
||
|
|
Dans cet exercice, on souhaite démontrer que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\mbox{Si } q>1 \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Soit $q > 1$ donc il existe $a > 0$ tel que $q = 1 + a$.
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Démontrer que $q^2 > 1 + 2a$
|
||
|
|
\item En déduire que $q^3 > 1 + 3a$
|
||
|
|
\item En déduire que $q^4 > 1 + 4a$
|
||
|
|
\item On a vu que pour démontrer les inégalités, on utilisait l'égalité précédente. On va vouloir généraliser cette façon pour toutes les inégalités. Autrement dit, on va supposer que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
q^n > 1 + n\times q \qquad \mbox{ est vraie.}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Et vous devez démontrer que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
q^{n+1} > 1 + (n+1) q \qquad \mbox{ est vraie.}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
Ainsi, l'égalité est vraie quand $n=2$ et on sait que \textbf{si} elle est vraie pour $n$ \textbf{alors} elle est vraie pour $n+1$, on peut donc en déduire qu'elle est vraie pour tout $n$. C'est ce que l'on appelle un raisonnement par récurrence.
|
||
|
|
\item Déterminer
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\lim_{n\rightarrow+\infty} 1 + n\times q
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item En déduire
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
Un raisonnement similaire peut être réalisé pour démontrer
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\mbox{Si } q\in \intOO{0}{1} \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\vfill
|
||
|
|
\printexercise{exercise}{1}
|
||
|
|
\vfill
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|