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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Suites géométriques- Somme}
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\tribe{Terminale ES-L}
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\date{Décembre 2019}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\xsimsetup{
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solution/print = true
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}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
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Calculer la valeur exacte de chaque somme puis donner une valeur approchée au centième.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $1+4+4^2+4^3+\cdots+4^6$
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\item $1+0.1+0.1^2+0.1^3+\cdots+0.1^9$
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\item $1+0.2+0.2^2+0.2^3+\cdots+0.2^7$
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\item $1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\cdots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}$
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\item $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^6}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Bilan financier}]
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Au premier janvier 2020, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois 8\% des adhérents ne renouvellent pas leur licence.
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser la situation par une suite dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\item Chaque adhérent verse une cotisation de 5\euro par mois. On souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2020.
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser le calcul du montant total des cotisations avec une somme puis la calculer.
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\item Il est possible de faire aussi ce calcul avec l'algorithme ci-contre. Le compléter puis l'exécuter.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{minipage}[b]{0.8\linewidth}
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\begin{algorithm}[H]
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\SetAlgoLined
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$u \leftarrow 900$ \;
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$S \leftarrow 0$ \;
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\Pour{$n$ allant de $0$ à $\cdots$}{
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$u \leftarrow \cdots$ \;
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$S \leftarrow \cdots$ \;
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}
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\Sortie{S}
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\end{algorithm}
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\end{minipage}
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\end{minipage}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\pagebreak
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\begin{exercise}[subtitle={Démonstration}]
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Dans cet exercice, on va chercher à démontrer la formule $1 + q + q^2 + \cdots q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout $q\in\R+$. Pour cela, on note $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $S - qS = 1 - q^{n+1}$.
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\item En déduire que $S = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limite de la somme}]
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Dans cet exercice, on va chercher à déterminer la limite de la somme $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$.
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que $q\in\intOO{0}{1}$. Démontrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty} S_n = \dfrac{1}{1-q}$
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\item Une lièvre, lors de la course contre la tortue, avance de la façon suivante. Il fait la moitié de la course en 10minutes, puis la moitié de ce qui lui reste en 10minutes, puis la moitié, etc. Va-t-il réussir à terminer la course?
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\item On suppose que $q>1$. Démontrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty} S_n = +\infty$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\vfill
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\printexercise{exercise}{3}
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\printexercise{exercise}{4}
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\vfill
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\printexercise{exercise}{3}
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\printexercise{exercise}{4}
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\vfill
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\end{document}
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