2019-2020/Tsti2d/Analyse/Suites/4E_somme_seuil.tex

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\title{Banque exercices - Suites}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Septembre 2019}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Profilé d'aluminium}]
    Une unité de production fabrique des profilés d'aluminium. En 2009, la production annuelle a été de \np{5000} unités.

    On fait l'hypothèse que chaque année, la production augment de 4\%.

    \begin{enumerate}
        \item Calculer la production pour les années 2010 et 2011.
        \item On note $(P_n)$ la suite qui modélise la production. Quelle est la nature de cette suite? Quels sont les éléments caractéristiques? Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
        \item Quelle est la production total de cette unité entre 2009 et 2015?
        \item Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année où la production dépassera \np{40000} unités.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Aquarium}]
    % Ex 2 2018 Métropole
    Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient $280$ litres d'eau et des poissons.

    Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2\,\% par semaine. Compte tenu
    du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum $240$~litres
    d'eau.

    \bigskip

    \textbf{Partie A}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ?
        \item Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4\,\% du volume d'eau initial se
            seront évaporés ? Justifier.
        \item Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra
            insuffisant.
    \end{enumerate}

    \bigskip

    \textbf{Partie B}

    \medskip

    On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, $5$~litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2\,\%.

    On note $u_0$ le volume initial d'eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.

    Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Vérifier que $u_2 = 278,812$.
        \item Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,98 u_n + 5$.
        \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
        \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel
            et $U$ un nombre réel.

            \begin{center}
                \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
                    $U \gets 280$\\
                    Pour $k$ allant de $1$ à \ldots\\
                    \hspace{0.9cm}$U \gets \ldots$\\
                    Fin Pour\\ \hline
                \end{tabularx}
            \end{center}

            \begin{enumerate}
                \item Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $U$ contienne $u_6$.
                \item Quel est le volume d'eau dans l'aquarium, en litres à $10^{-2}$ près, $6$ semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau?
            \end{enumerate}
        \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 250$. 

            On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $v_0$.
                \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 30 \times  0, 98^n + 250$.
                \item Justifier que la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est
                    respectée.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Algorithme de Babylone}]
    On considère l'algorithme suivant:

    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{algorithm}[H]
            \SetAlgoLined
            \Entree{a}
            \Deb{
                $u \leftarrow a/2$ \;
                \Pour{$n$ de 1 à 3}{
                    $u \leftarrow (u + a/u)/2$ \;
                }
            }
        \end{algorithm}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        \begin{enumerate}
            \item Faire fonctionner cet algorithme pour $a=2$ en fournissant toutes les valeurs prises par $u$.
            \item Même question pour $a=3$.
            \item Récrire l'algorithme pour faire varier $n$ de 1 à 10. Vers quelle valeur semble tendre $u$ quand $n$ grandit?
            \item Modifier l'algorithme pour qu'il s'arrête quand $|u-1.41|<10^{-6}$.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
\end{exercise}



\end{document}