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TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DM 2 -- GODET Raphaël}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{20 novembre 2019}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
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\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
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\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
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\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 10x + 6 + \frac{30}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S(x) = \frac{10x^2 + 6x + 30}{x}
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\]
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\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{- 30 + 10x^2}{x^2}
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\]
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\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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\begin{itemize}
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\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
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\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
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\end{itemize}
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\item Pour calculer le volume, on a
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\begin{eqnarray*}
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V &=& h\times x \times 5 \\
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15 &=& h\times x \times 5 \\
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x &=& \frac{15}{h\times 5} = \frac{3}{h}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
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S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{3}{x}\times 5\times 2\\
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S(x) &=& 10x + 6 + \frac{30}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
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\begin{eqnarray*}
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S(x) &=& 10x + 6 + \frac{30}{x}\\
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S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
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S(x) &=& \frac{10x^2 + 6x + 30}{x}
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\end{eqnarray*}
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\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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\[
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u(x) = 10x^2 + 6x + 30 \Rightarrow u'(x) = 6 + 20x
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\]
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\[
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v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
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\]
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Donc au numérateur on obtient
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\begin{eqnarray*}
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u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 20x)\times x - (10x^2 + 6x + 30)\times 1\\
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&=& - 30 + 10x^2
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\end{eqnarray*}
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Donc
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\[
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S'(x) = \frac{- 30 + 10x^2}{x^2}
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\]
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\item Tableau de variations de $S$
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\begin{itemize}
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\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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\item Signe de $- 30 + 10x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = 1200 > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = - 1.7320508075688774 \qquad
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x_2 = 1.7320508075688774
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\]
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Et on sait que $- 30 + 10x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 30 + 10x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688774$, $10$}
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabLine{d,+, , +, }
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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\end{tikzpicture}
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\end{itemize}
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\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688774$ et $h = 5.1961524227066322$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
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La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
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On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.305$ gramme de gaz chaque jour.
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Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $650$ grammes.
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\subsection*{Partie A}
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Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
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\subsection*{Partie B}
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Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.305$ gramme, le système perd $5\,\%$ de sa masse chaque jour.
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Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
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On a donc, $u_0 = 650$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
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on a :
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\[
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u_{n+1} = 0.95 u_n - 0.305.
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
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\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
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nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
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dans le système.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l |}
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\hline
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\textbf{Variables} \\
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\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
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|
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
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\textbf{Entrée} \\
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\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
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\textbf{Initialisation}\\
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\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
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|
\textbf{Traitement} \\
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\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
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\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
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|
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
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|
\textbf{Sortie} \\
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|
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
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\hline
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|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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|
\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
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\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
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Arrondir au gramme près.
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\end{enumerate}
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\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.1$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_0$.
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\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.95$.
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|
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 656.1 \times 0.95^n - 6.1$.
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\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
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\end{enumerate}
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|
\item Résoudre $650 \times 0.95^n - 6.1 < 440$ puis interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\subsection*{Partie A}
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\begin{itemize}
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\item Quantité à perdre avant recharge
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\[
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650 - 440 = 210
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\]
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\item À raison d'une perte de 0.305 par jour. Il faudra recharger dans
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\[
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\frac{210}{0.305} = 689 \mbox{ jours}
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\]
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\end{itemize}
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\subsection*{Partie B}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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u_0 &=& 650\\
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u_1 &=& 0.95\times u_0 - 0.305 = 617.195\\
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u_2 &=& 0.95\times u_1 - 0.305 = 586.03025
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\end{eqnarray*}
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\item
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l |}
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|
\hline
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|
\textbf{Variables} \\
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\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
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|
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
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|
|
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
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|
\textbf{Entrée} \\
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|
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
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|
\textbf{Initialisation}\\
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|
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
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|
|
\textbf{Traitement} \\
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|
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
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|
|
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.95*u-0.305$ \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
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|
|
\textbf{Sortie} \\
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|
|
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
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|
\hline
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|
\end{tabular}
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|
|
\end{center}
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|
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
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|
|
\item
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\begin{enumerate}
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\item $v_0 = u_0 + 6.1 = 650 + 6.1 = 656.1$
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\item $v_n = 656.1\times 0.95^n$
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|
\item Comme $v_n = u_n + 6.1$ alors $u_n = v_n - 6.1$ et donc
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\[
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|
u_n = 656.1 \times 0.95^n - 6.1
|
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|
\]
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|
|
\item $u_{20} =656.1 \times 0.95^{20} - 6.1= 229$
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|
\end{enumerate}
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|
|
\item
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\begin{eqnarray*}
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650 \times 0.95^n - 6.1 &<& 440 \\
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|
650 \times 0.95^n &<& 440+6.1 \\
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|
0.95^n &<& \frac{440+6.1}{650} \\
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||
|
|
ln(0.95^n) &<& ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right) \\
|
||
|
|
n\times ln(0.95) &<& ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right) \\
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||
|
|
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right)}{ln0.95} \\
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|
\end{eqnarray*}
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|
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.95)$ est négatif.
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Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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