2019-2020/Tsti2d/Geometrie/Complexe/4E_annales.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Problèmes résolus avec les complexes}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Février 2020}
\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2019}]
Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres.
Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$.
Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}i$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$..
\textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} i$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$.
\item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} i$.
Déterminer la forme exponentielle de $Z$.
\item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$.
Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- i\frac{\pi}{6}}$.
\item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre.
Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à $\dfrac{- i}{10 - i}$.
\item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ .
\item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$ et en donner une valeur approchée au centième.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\end{document}