2019-2020/TES/Logarithme/Relation_fonctionnelle/3E_equations.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équation avec l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Mars 2020}
\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Équations avec logarithme}]
Résoudre les équations et inéquations suivantes
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ln(x) = 4$
\item $\ln(x) + 1 = 0$
\item $5\ln(x) -3 = 5$
\item $\ln(x) =3\ln(5)$
\item $\ln(2x+3) = 0$
\item $(x+1)\ln(x) = 0$
\item $\ln(x+2) + \ln(3) = \ln(x)$
\item $\ln(2x+1) = 2\ln(x)$
\item $\ln(x) + \ln(x+2) = \ln(9x-12)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Le premier est le plus proche d'un exercice type bac, le 2e demande de la prise d'initiative et le 3e en plus d'actualité}
\begin{exercise}[subtitle={Renard}]
Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an.
Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante \\$u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$
\item Est-ce que la suite $(u_n)$ est géométrique?
\end{enumerate}
On veut chercher une formule explicite pour cette suite $(u_n)$. Pour cela, on passe par une suite annexe $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 200$
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Calculer $v_0$ et $v_1$
\item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
\item Par le calcul, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}]
Une entreprise achète une machine neuve dont le prix est de \np{84000}\euro. On estime qu'elle se déprécie de 12\% par an.
\begin{enumerate}
\item Modéliser la situation avec une suite en précisant sa formule explicite.
\item Sans utiliser le tableur de la calculatrice, calculer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera en dessous de \np{20000}\euro.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution moyen}]
D'après Wikipédia, le nombre de cas constaté d'infectés par le Covid-19 en France est passé de 130 cas au premier mars à \np{44550} le 30 mars.
\includegraphics[scale=0.5]{./fig/evo_covid}
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du nombre de cas constatés entre le 1 mars et le 30 mars.
\end{enumerate}
On souhaite calculer le taux d'évolution moyenne journalier du nombre d'infectés. Pour cela, on modélise cette quantité par une suite géométrique $(u_n)$$n$ désigne le nombre de jours depuis le 1mars. On a donc
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item D'après les données de l'énoncé (pas le graphique) déterminer $u_0$ et $u_{29}$.
\item On note $q$ la raison de cette suite (qui est inconnue). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire des deux questions précédente la valeur de $q$.
\item $q$ Représente le coefficient multiplicateur moyen journalier du nombre d'infectés. En déduire, le taux d'évolution moyen.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}