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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Arbre de probabilité - Bilan 2}
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\date{Novembre 2019}
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\begin{document}
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\section*{Arbre de probabilité (suite)}
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\subsection*{Propriétés}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ avec $P(A) \neq 0$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
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\begin{itemize}
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\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. On a alors
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\[
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P(A) + P(\overline{ A }) = 1 \mbox{ ou encore } P_A(B) + P_A(\overline{ B }) = 1
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\]
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\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. On a alors (chemin rouge)
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\[
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P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
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\]
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Ou encore la formule de Bayes
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\[
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P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
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\]
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\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
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\[
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P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
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\]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, scale=1.5]
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\node {.}
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child [red] {node {$A$}
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child {node {$B$}
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edge from parent
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node[above] {$P_A(B)$}
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}
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child [black] {node {$\overline{B}$}
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edge from parent
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node[above] {$P_A(\overline{B})$}
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}
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edge from parent
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node[above] {$P(A)$}
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}
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child[missing] {}
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child { node {$\overline{A}$}
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child {node {$B$}
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edge from parent
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node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
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}
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child {node {$\overline{B}$}
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edge from parent
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||
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node[above] {$P_{\overline{A}}(\overline{B})$}
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}
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|
edge from parent
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node[above] {$P(\overline{A})$}
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}%
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{document}
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