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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Dérivation de l'exponentielle}
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\tribe{Tsti2d}
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\date{Mars 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Polynésie septembre 2018}]
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On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par $w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146$.
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On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $w(0)$.
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\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
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\end{enumerate}
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\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
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$[0~;~+ \infty[$.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
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\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={}]
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
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du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
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l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = K \e^{-0,12t}+0,025$ avec K un nombre réel.
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À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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\begin{enumerate}
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\item Donner $f(0)$ puis déterminer la valeur de $K$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer par lecture graphique sur votre calculatrice la valeur de $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
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Interpréter le résultat dans le contexte.
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\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\end{document}
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