2019-2020/TES/Exponentielle/Etude_fonction/1B_derive_exp.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Dérivée de l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Janvier 2020}
\begin{document}
\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
\subsection*{Rappels}
La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$.
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{itemize}
\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
\item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
\end{itemize}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
{$-\infty$, $+\infty$}%
\tkzTabVar{-/, +/}%
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.1]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\subsection*{Propriété: Dérivée de $\exp$}
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
\[
\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
\]
Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
On en déduit, pour tout $x \in \R$:
\begin{itemize}
\item $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
\item $\exp''(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
\end{itemize}
\subsection*{Exemple de calcul}
Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
\afaire{}
\end{document}