2019-2020/TES/Exponentielle/Etude_fonction/3E_annales.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Métropole Juin 2018}]
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par
\[f(x) = (2x+1)e^{-2x}+3.\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,
\[f'(x)=-4xe^{-2x}.\]
\item Étudier les variations de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,
\[f''(x)=(8x-4)e^{-2x}.\]
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2018}]
Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par
\[f(x) = \np{2000}\text{e}^{-0,2x}\]
pour le produit A ;
\item la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par
\[g (x)= 15x^2 + 50 x\]
pour le produit B
\end{itemize}
\end{multicols}
$x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\textbf{Partie A}
Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.
Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :
\begin{enumerate}
\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.
Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/produit1B}
\end{center}
\end{minipage}
\textbf{Partie B}
\medskip
Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.
On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0~;~14].
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14]
$h'(x) = - 400\text{e}^{-0,2x} + 30x + 50$.
\end{enumerate}
\item ~\\
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On admet que le tableau de variation de la fonction $h'$ sur l'intervalle [0~;~14] est :
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $h'(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.
\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~14].
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$h'(x)$/2}{$0$, $14$}
\tkzTabVar{-/ $-350$, +/ $h'(14) \approx 446$ }
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\item Voici un algorithme :
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\begin{enumerate}
\item Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?
\item En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que X contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l'exécution de l'algorithme.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X) + 30X + 50$\\
Tant que $Y \leqslant 0$\\
\hspace{0.7cm}$X \gets X + 0,1$\\
\hspace{0.7cm}$Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X)+ 30X +50$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}