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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Dérivation de l'exponentielle}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Mars 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation avec des fonctions}]
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Dans cet exercice, vous allez devoir retrouver des fonctions sur lesquelles on a mis des conditions sur la dérivée. Les 3 questions pourront se traiter de la même manière mais nous utiliserons des notations différentes.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Notations habituelles pour vous} Pour chaque équation retrouver une fonction $f$ qui convient
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f'(x) = 2x$
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\item $f'(x) = 5x + 1$
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\item $f'(x) = 2x^2$ et $f(0) = 1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item \textbf{Nouvelles notations de math} Pour chaque équation retrouver une fonction $y$ qui convient
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $y'(x) = 3x^2 + 2x -10$
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\item $y'(x) = \cos(x)$
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\item $y'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ et $y(10) = 1$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item \textbf{Notation physicienne} Pour chaque équation retrouver une fonction $x$ qui convient
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\dfrac{df}{dt} = 3t + 2$
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\item $\dfrac{df}{dt} = \sin(t)$
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\item $\dfrac{df}{dt} = e^t$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Accélération constante}]
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Dans cet exercice, nous allons étudier une situation physique où un objet est en chute libre (et donc en accélération constante) sans frottements. On notera $x(t)$ la fonction position en fonction du temps (en secondes), $v(t)$ la fonction vitesse et $a(t)$ la fonction accélération.
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Par hypothèse sur la situation physique, on a
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\[
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a(t) = -9.81
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\]
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On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position et que l'accélération est la dérivée de la vitesse. Cet qui se traduit par les égalités suivantes
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\[
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x'(t) = v(t) \qquad \qquad v'(t) = a(t)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la vitesse est donnée par $v(t) = -9.81t + a$ avec $a$ une constante.
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\item On a mesuré que la vitesse au bout de 10s est de $2m.s^{-1}$. Déterminer la valeur de $a$.
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\item Démontrer que la position est alors donnée par $x(t) = -4,905t^2 + 100,1t + b$ avec $b$ une constante.
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\item L'objet est lâché au temps 0s à \np{1000}m d'altitude. Déterminer la valeur de $b$.
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\item Déterminer le moment où l'objet touchera le sol c'est à dire atteindre l'altitude 0m.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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