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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Dérivation de ln}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Janvier 2020}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
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\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
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\item $f(x) = x\ln(x)$
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\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
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\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
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\item $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
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Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, la mettre sur un seul dénominateur, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x-3-4\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
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\item $g(x) = x^2 -3x + 2 + 3\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Fonction annexe}]
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On souhaite étudier les variations de la fonction
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\[
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f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 2 \mbox{ sur } R^{+*}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $f(x) = \dfrac{\ln(x) - x^2 + 2x}{x}$.
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ peut s'écrire
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\[
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f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \qquad \mbox{ avec } \qquad g(x) = 1 - \ln(x) - x^2
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\]
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\end{enumerate}
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\item Étude du signe de la fonction $g$
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $g'(x)$, étudier son signe puis en déduire les variations de $g$ sur $R^{+*}$.
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\item Calculer $g(1)$ puis en déduire le tableau de signe de $g$.
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\end{enumerate}
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\item Tracer le tableau de variation de $f$ puis par lecture graphique compléter les limites.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\vfill
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\printexercise{exercise}{1}
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\printexercise{exercise}{2}
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\printexercise{exercise}{3}
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\printexercise{exercise}{4}
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\end{document}
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