2019-2020/Tsti2d/DM/DM_19_10/05_DM_19_10.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tasks}
\usepackage{myXsim}
\title{DM 2 -- DUBOIS Yanis}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{20 novembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
\[
S(x) = 8x + 6 + \frac{24}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S(x) = \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
\]
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
\begin{itemize}
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
\end{itemize}
\item Pour calculer le volume, on a
\begin{eqnarray*}
V &=& h\times x \times 4 \\
12 &=& h\times x \times 4 \\
x &=& \frac{12}{h\times 4} = \frac{3}{h}
\end{eqnarray*}
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{3}{x}\times 4\times 2\\
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}
\end{eqnarray*}
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}\\
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{24}{x}\\
S(x) &=& \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
\end{eqnarray*}
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
\[
u(x) = 8x^2 + 6x + 24 \Rightarrow u'(x) = 6 + 16x
\]
\[
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
\]
Donc au numérateur on obtient
\begin{eqnarray*}
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 16x)\times x - (8x^2 + 6x + 24)\times 1\\
&=& - 24 + 8x^2
\end{eqnarray*}
Donc
\[
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
\]
\item Tableau de variations de $S$
\begin{itemize}
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
\item Signe de $- 24 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
\[
\Delta = 768 > 0
\]
Il y a donc 2 racines
\[
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
x_2 = 1.7320508075688772
\]
Et on sait que $- 24 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
\item Tableau de variations
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 24 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabLine{d,+, , +, }
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
\end{enumerate}
\end{solution}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.156$ gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $680$ grammes.
\subsection*{Partie A}
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
\subsection*{Partie B}
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.156$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc, $u_0 = 680$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
on a :
\[
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.156.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
dans le système.
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
Arrondir au gramme près.
\end{enumerate}
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.9$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 683.9 \times 0.96^n - 3.9$.
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
\end{enumerate}
\item Résoudre $680 \times 0.96^n - 3.9 < 440$ puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\subsection*{Partie A}
\begin{itemize}
\item Quantité à perdre avant recharge
\[
680 - 440 = 240
\]
\item À raison d'une perte de 0.156 par jour. Il faudra recharger dans
\[
\frac{240}{0.156} = 1538 \mbox{ jours}
\]
\end{itemize}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
u_0 &=& 680\\
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.156 = 652.644\\
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.156 = 626.38224
\end{eqnarray*}
\item
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.156$ \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
\item
\begin{enumerate}
\item $v_0 = u_0 + 3.9 = 680 + 3.9 = 683.9$
\item $v_n = 683.9\times 0.96^n$
\item Comme $v_n = u_n + 3.9$ alors $u_n = v_n - 3.9$ et donc
\[
u_n = 683.9 \times 0.96^n - 3.9
\]
\item $u_{20} =683.9 \times 0.96^{20} - 3.9= 298$
\end{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
680 \times 0.96^n - 3.9 &<& 440 \\
680 \times 0.96^n &<& 440+3.9 \\
0.96^n &<& \frac{440+3.9}{680} \\
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right) \\
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right) \\
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right)}{ln0.96} \\
\end{eqnarray*}
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: