282 lines
12 KiB
TeX
282 lines
12 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{tasks}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{DM 2 -- GAULET Kelian}
|
||
|
|
\tribe{Terminale STI2D}
|
||
|
|
\date{20 novembre 2019}
|
||
|
|
|
||
|
|
\xsimsetup{
|
||
|
|
solution/print = false
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||
|
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||
|
|
|
||
|
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\hfill
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||
|
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||
|
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||
|
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||
|
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||
|
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||
|
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||
|
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
S(x) = 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Démontrer que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
S(x) = \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Démontrer que
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
S'(x) = \frac{- 30 + 6x^2}{x^2}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||
|
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{2}$
|
||
|
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{3}$
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||
|
|
15 &=& h\times x \times 3 \\
|
||
|
|
x &=& \frac{15}{h\times 3} = \frac{5}{h}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||
|
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{5}{x}\times 3\times 2\\
|
||
|
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}\\
|
||
|
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
|
||
|
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u(x) = 6x^2 + 10x + 30 \Rightarrow u'(x) = 10 + 12x
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Donc au numérateur on obtient
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (10 + 12x)\times x - (6x^2 + 10x + 30)\times 1\\
|
||
|
|
&=& - 30 + 6x^2
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
Donc
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
S'(x) = \frac{- 30 + 6x^2}{x^2}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||
|
|
\item Signe de $- 30 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\Delta = 720 > 0
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Il y a donc 2 racines
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||
|
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
Et on sait que $- 30 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||
|
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||
|
|
\item Tableau de variations
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 30 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||
|
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||
|
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||
|
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||
|
|
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||
|
|
|
||
|
|
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.192$ gramme de gaz chaque jour.
|
||
|
|
|
||
|
|
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $630$ grammes.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Partie A}
|
||
|
|
|
||
|
|
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||
|
|
|
||
|
|
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Partie B}
|
||
|
|
|
||
|
|
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.192$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||
|
|
|
||
|
|
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||
|
|
|
||
|
|
On a donc, $u_0 = 630$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||
|
|
on a :
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.192.
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||
|
|
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||
|
|
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||
|
|
dans le système.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{| l |}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\textbf{Variables} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||
|
|
\textbf{Entrée} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||
|
|
\textbf{Initialisation}\\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||
|
|
\textbf{Traitement} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||
|
|
\textbf{Sortie} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||
|
|
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||
|
|
Arrondir au gramme près.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.4$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item Calculer $v_0$.
|
||
|
|
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||
|
|
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 636.4 \times 0.97^n - 6.4$.
|
||
|
|
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\item Résoudre $630 \times 0.97^n - 6.4 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\subsection*{Partie A}
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
630 - 440 = 190
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item À raison d'une perte de 0.192 par jour. Il faudra recharger dans
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
\frac{190}{0.192} = 990 \mbox{ jours}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
\subsection*{Partie B}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
u_0 &=& 630\\
|
||
|
|
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.192 = 610.908\\
|
||
|
|
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.192 = 592.38876
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{| l |}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\textbf{Variables} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||
|
|
\textbf{Entrée} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||
|
|
\textbf{Initialisation}\\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||
|
|
\textbf{Traitement} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.192$ \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||
|
|
\textbf{Sortie} \\
|
||
|
|
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||
|
|
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item $v_0 = u_0 + 6.4 = 630 + 6.4 = 636.4$
|
||
|
|
\item $v_n = 636.4\times 0.97^n$
|
||
|
|
\item Comme $v_n = u_n + 6.4$ alors $u_n = v_n - 6.4$ et donc
|
||
|
|
\[
|
||
|
|
u_n = 636.4 \times 0.97^n - 6.4
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
\item $u_{20} =636.4 \times 0.97^{20} - 6.4= 340$
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
630 \times 0.97^n - 6.4 &<& 440 \\
|
||
|
|
630 \times 0.97^n &<& 440+6.4 \\
|
||
|
|
0.97^n &<& \frac{440+6.4}{630} \\
|
||
|
|
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right) \\
|
||
|
|
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right) \\
|
||
|
|
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right)}{ln0.97} \\
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
|
||
|
|
|
||
|
|
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|