2019-2020/Tsti2d/DM/DM_19_10/12_DM_19_10.tex

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TeX
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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tasks}
\usepackage{myXsim}
\title{DM 2 -- PAUL Jimmy}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{20 novembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $6m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
\[
S(x) = 6x + 4 + \frac{12}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S(x) = \frac{6x^2 + 4x + 12}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S'(x) = \frac{- 12 + 6x^2}{x^2}
\]
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
\begin{itemize}
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{2}$
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{3}$
\end{itemize}
\item Pour calculer le volume, on a
\begin{eqnarray*}
V &=& h\times x \times 3 \\
6 &=& h\times x \times 3 \\
x &=& \frac{6}{h\times 3} = \frac{2}{h}
\end{eqnarray*}
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{2}{x}\times 3\times 2\\
S(x) &=& 6x + 4 + \frac{12}{x}
\end{eqnarray*}
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& 6x + 4 + \frac{12}{x}\\
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{12}{x}\\
S(x) &=& \frac{6x^2 + 4x + 12}{x}
\end{eqnarray*}
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
\[
u(x) = 6x^2 + 4x + 12 \Rightarrow u'(x) = 4 + 12x
\]
\[
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
\]
Donc au numérateur on obtient
\begin{eqnarray*}
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (4 + 12x)\times x - (6x^2 + 4x + 12)\times 1\\
&=& - 12 + 6x^2
\end{eqnarray*}
Donc
\[
S'(x) = \frac{- 12 + 6x^2}{x^2}
\]
\item Tableau de variations de $S$
\begin{itemize}
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
\item Signe de $- 12 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
\[
\Delta = 288 > 0
\]
Il y a donc 2 racines
\[
x_1 = - 1.414213562373095 \qquad
x_2 = 1.414213562373095
\]
Et on sait que $- 12 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
\item Tableau de variations
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 12 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.414213562373095$, $10$}
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabLine{d,+, , +, }
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.414213562373095$ et $h = 2.828427124746190$.
\end{enumerate}
\end{solution}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.297$ gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $570$ grammes.
\subsection*{Partie A}
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
\subsection*{Partie B}
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.297$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc, $u_0 = 570$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
on a :
\[
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.297.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
dans le système.
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
Arrondir au gramme près.
\end{enumerate}
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 9.9$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 579.9 \times 0.97^n - 9.9$.
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
\end{enumerate}
\item Résoudre $570 \times 0.97^n - 9.9 < 440$ puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\subsection*{Partie A}
\begin{itemize}
\item Quantité à perdre avant recharge
\[
570 - 440 = 130
\]
\item À raison d'une perte de 0.297 par jour. Il faudra recharger dans
\[
\frac{130}{0.297} = 438 \mbox{ jours}
\]
\end{itemize}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
u_0 &=& 570\\
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.297 = 552.603\\
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.297 = 535.72791
\end{eqnarray*}
\item
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.297$ \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
\item
\begin{enumerate}
\item $v_0 = u_0 + 9.9 = 570 + 9.9 = 579.9$
\item $v_n = 579.9\times 0.97^n$
\item Comme $v_n = u_n + 9.9$ alors $u_n = v_n - 9.9$ et donc
\[
u_n = 579.9 \times 0.97^n - 9.9
\]
\item $u_{20} =579.9 \times 0.97^{20} - 9.9= 305$
\end{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
570 \times 0.97^n - 9.9 &<& 440 \\
570 \times 0.97^n &<& 440+9.9 \\
0.97^n &<& \frac{440+9.9}{570} \\
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right) \\
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right) \\
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right)}{ln0.97} \\
\end{eqnarray*}
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: