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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Problèmes résolus avec les complexes}
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\tribe{Terminale Sti2d}
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\date{Février 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2019}]
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Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres.
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Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
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Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$.
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Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}i$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$..
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\textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
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On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} i$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$.
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\item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} i$.
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Déterminer la forme exponentielle de $Z$.
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\item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$.
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Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- i\frac{\pi}{6}}$.
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\item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre.
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Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
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On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à $\dfrac{- i}{10 - i}$.
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\item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ .
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\item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$ et en donner une valeur approchée au centième.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\printexercise{exercise}{1}
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\end{document}
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