68 lines
2.4 KiB
TeX
68 lines
2.4 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||
|
|
\usepackage{myXsim}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\title{Loi binomiale}
|
||
|
|
\date{Mars 2020}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\setcounter{section}{1}
|
||
|
|
\section{Loi binomiale}
|
||
|
|
|
||
|
|
En classe, on a travaillé sur une série d'exercices où l'on retrouvait des situations similaires: une repétition d'évènements identiques. Ce genre de situattion sera modélisé par une loi binomiale, définie ci-dessous.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Définition}
|
||
|
|
|
||
|
|
La \textbf{loi de Bernoulli de paramètre $p$} notée $\mathcal{B}(p)$ est la loi de probabilité qui modélise les situations où il n'y a que 2 issues succès (qui a pour valeur 1) ou échec (qui a pour valeur 0). Le paramètre $p$ correspond à la probabilité d'un succès. Elle est donc définie par le tableau suivant
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Valeurs & 1 & 0 \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
Probabilité & p & 1-p \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\bigskip
|
||
|
|
|
||
|
|
On a vu que pour simuler tout un vol, c'est à dire 53 passagers, il fallait répéter 53 fois la loi de Bernoulli. Les répétitions de loi de Bernoulli s'appellent \textbf{schéma de Bernoulli} et sont modéliser par la \textbf{binomiale}.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Définition}
|
||
|
|
|
||
|
|
La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la répétition indépendantes et identiques de $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\bigskip
|
||
|
|
|
||
|
|
Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité.
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsubsection*{Exemple}
|
||
|
|
|
||
|
|
Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.
|
||
|
|
|
||
|
|
On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée.
|
||
|
|
|
||
|
|
\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsection*{Propriétés}
|
||
|
|
|
||
|
|
Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item L'espérance de $X$ peut être calculée de la manière suivante: $E[X] = n\times p$
|
||
|
|
\item L'écart-type de $X$ se calcule: $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\subsubsection*{Exemple}
|
||
|
|
On reprend la variable aléatoire de l'exemple précédent: $X\sim \mathcal{B}(3, \frac{1}{2})$. Alors
|
||
|
|
\begin{itemize}
|
||
|
|
\item L'espérance est de $E[X] = $
|
||
|
|
\item L'écart type est donné par $\sigma = $
|
||
|
|
\end{itemize}
|
||
|
|
|
||
|
|
\afaire{Faire les calculs}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|