2019-2020/1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/1B_vecteurs.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Bilan sur les vecteurs}
\tribe{1ST}
\date{Novembre 2019}

\pagestyle{empty}

%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}

\section*{Vecteurs}

\subsection*{Définition}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Soit $A$ et $B$ deux points du plan.

\textbf{Le vecteur $\vec{AB}$} est un objet mathématique qui modélise la transformation qui amène le point $A$ sur le point $B$. 

\bigskip
On représente ce vecteur par une flèche qui n'est pas nécessairement attachée aux points $A$ ou $B$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \hfill
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
            \draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
            \draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
        \end{tikzpicture}
    \hfill
\end{minipage}

\subsection*{Remarque}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
$\vec{AB} \neq \vec{BA}$ car ces deux vecteurs n'ont pas le même sens.

\bigskip

On dit que $\vec{AB}$ est le vecteur opposé au vecteur $\vec{BA}$ et on note
\[
    \vec{AB} = - \vec{BA}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
    \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
    \draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
    %\draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
    \draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
    \draw[->, very thick] (6, 2) -- (5, 0)  node[left, midway] {$\vec{BA}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Coordonnées d'un vecteur}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
    Quand on se place dans un repère, on peut alors définir les coordonnées d'un vecteur qui s'écrive alors en colonne.
    \[
        \vec{u} = \vectCoord{x}{y}
    \]
    
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
        \draw[->, very thick] (1, 1) -- (3, 2) node[above, midway] {$\vec{u}$};
        \draw[dashed] (1,1) -- (1,0);
        \draw[dashed] (3,2) -- (3,0);
        \draw (2, 0) node[below] {$x$};
        \draw[dashed] (1,1) -- (0,1);
        \draw[dashed] (3,2) -- (0,2);
        \draw (0, 1.5) node[left] {$y$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Calculer les coordonnées d'un vecteur}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points du plan. Alors on peut calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
\[
    \vec{AB} = \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
        \draw[->, very thick] (1, 1) node [below left] {$A$} -- (3, 2)  node [above right] {$B$} node[above left, midway] {$\vec{AB}$};
        \draw[dashed] (1,1) -- (1,0) node [below] {$x_A$};
        \draw[dashed] (3,2) -- (3,0) node [below] {$x_B$};
        \draw[dashed] (1,1) -- (0,1) node [left] {$y_A$};
        \draw[dashed] (3,2) -- (0,2) node [left] {$y_B$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Somme de vecteurs}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
    Il est possible de faire la somme de plusieurs vecteurs.

    \bigskip

    Dans un repère, on peut alors faire la somme des coordonnées
    \[
        \vec{u} = \vectCoord{x_{\vec{u}}}{y_{\vec{u}}} \qquad
        \vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{v}}}{y_{\vec{v}}}
    \]
    \[
        \vec{u} + \vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}}{y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}}}
    \]

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \draw[->, thick] (0, 0) -- (3, 1) node [midway, below] {$\vec{u}$};
        \draw[->, thick] (3, 1) -- (4, 3) node [midway, below] {$\vec{v}$};
        \draw[->, thick, dashed] (0, 0) -- (4, 3) node [midway, above left] {$\vec{u}+\vec{v}$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Norme d'un vecteur}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
La \textbf{norme} d'un vecteur est la distance entre ses deux extrémités. On la note
\[
    ||\vec{u}||
\]

\bigskip

Dans un repère orthonormé, on peut faire le calcul suivant (qui revient à appliquer le théorème de Pythagore)

\[
    ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
        \draw[->, thick] (1, 1) -- (4, 2) node [midway, above] {$\vec{u}$};
        \draw[dashed] (4, 1) -- (4, 2) node [midway, left] {$y$};
        \draw[dashed] (1, 1) -- (4, 1) node [midway, below] {$x$};
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{document}