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\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
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\setlength\columnsep{0pt}
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\title{Logarithme, relation fonctionnelle}
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\date{Octobre 2019}
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\begin{document}
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\begin{frame}{Table de Neper}
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\begin{block}{John Napier}
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Mathématicien écossais du seizième siècle (1550 – 1617)
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\end{block}
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\pause
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\begin{block}{Simplifier les calculs}
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Transformer les multiplications en additions
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\end{block}
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\pause
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\includegraphics[scale=2]{./fig/table_neper}
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\hfill
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/Batons_de_Napier}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Transformer $\times$ en $+$}
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\begin{block}{Situations}
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\begin{itemize}
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\item Transformer un suite géométrique en suite arithmétiques
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\item Intensité sonore (décibels et intensité électrique)
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\item Quantité d'information (nombre d'octets et quantité d'information)
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\item Échelle sismique (magnitude et énergie)
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\end{itemize}
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\end{block}
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\pause
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\begin{block}{Relation fonctionnelle}
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On cherche une fonction $f$ telle que
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\[
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f(a\times b) = f(a) + f(b)
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\]
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{$f(a\times b) = f(a) + f(b)$}
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En utilisant la relation fonctionnelle au dessus, répondre aux questions.
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\begin{enumerate}
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\item En choisissant $a=0$, qu'obtient-on?
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\item En choisissant $a=b=1$, que peut-on dire de $f(1)$?
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\item Exprimer $f(a^n)$ en fonction de $f(a)$.
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\item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
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\item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
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\item Combien vaut $f(\frac{a}{b})$?
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\end{enumerate}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Logarithme}
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\begin{block}{Propriété}
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Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
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\[
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f(a\times b) = f(a) + f(b)
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\]
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Cette famille s'appelle les fonctions logarithmes.
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\end{block}
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\vfill
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\pause
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\begin{block}{Définition}
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On appelle \textbf{logarithme népérien} un représentant de cette famille.
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Le logarithme népérien est définie sur $\R^{+*}$ et est noté $ln$.
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On a donc
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\[
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ln(a\times b) = ln(a) + ln(b)
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\]
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\end{block}
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\end{frame}
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\begin{frame}{Logarithme népérien}
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\begin{block}{Propriétés}
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Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
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\begin{eqnarray*}
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ln(1) &=& 0\\
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ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
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ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
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ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
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\end{eqnarray*}
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\end{block}
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\begin{block}{Exemple}
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Résolution d'équation avec des puissances
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\end{block}
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\vfill
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\end{frame}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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